
\chapter{مفاهیم مقدماتی} 
\section{تحلیل بقا}
يكي از انواع داده‌ها كه مورد علاقه‌ قرار گرفته است اهميت دادن به فاصله زماني تا وقوع بعضي حوادث مانند مرگ ومير و ... مي‌باشد. یعنی پرداختن و توجه نمودن به گروهی از افراد به‌طوری که پس از مدتی برای هر کدام از آن‌ها یک نقطه‌ی زمانی به نام شکست یا وقوع حادثه  تعریف می‌گردد. شكست يا حادثه‌ي مورد نظر مي‌تواند حداكثر يك‌بار براي هر فرد اتفاق افتد. از جمله مواردي كه مي‌تواند مصداق شكست يا  واقعه‌ي مورد نظر باشد، طول عمر يك ماشين صنعتي، اولين زمان مراجعه‌ي يك اتومبيل نو به تعميرگاه، زمان بقای یک بیمار پس از درمان یا انجام یک عمل جراحی و... مثال‌هايي از اين قبيل هستند. در تحقیقات پزشکی زمان شروع، متناظر با زمانی است که فرد وارد مطالعه می‌شود. اگر نقطه نهایی مرگ بیمار باشد در این‌صورت داده‌ها، داده‌های طول عمر هستند. در اکثر مطالعات تجربی، گروهی از آزمودنی‌ها در طی یک دوره زمانی معین وارد مطالعه شده و مورد پیگیری قرار می‌گیرند تا پیشامد معینی که مورد علاقه محقق است برای آن‌ها به وقوع بپیوندد. از این‌رو یکی از مسائل مورد علاقه محققان، مطالعه توزیع فاصله زمانی از زمان ورود به مطالعه تا وقوع پیشامد مورد نظر و تعیین عوامل موثر بر این فاصله زمانی می‌باشد. در اکثر این مطالعات، تنها وقوع پیشامد، نظیر مرگ مورد نظر نیست بلکه زمان وقوع پیشامد که به آن زمان بقا می‌گوییم نیز مورد علاقه است. در واقع از نظر علم آمار مجموعه‌ای از روش‌های مختلف آماری در تحلیل متغیرهای تصادفی نامنفی، که مقدار آن می‌تواند زمان شکست یک مولفه فیزیکی یا زمان مرگ یک واحد زنده باشد را تحلیل بقا گویند.\\
برای تحلیل داده‌های بقا روش‌های متنوعی استفاده می‌شود. از جمله این روش‌ها می‌توان به جدول عمر، برآورکننده کاپلان-مه‌یر $(KM)$، و مدل‌های رگرسیونی بقا اشاره کرد. هنگامی که با تحلیل داده‌های بقا سروکار داریم، دو هدف عمده مورد نظر ماست، یکی مدل‌بندی برای پیدا کردن ترکیب مناسبی از متغیر‌های کمکی که طول بقای اعضای مورد مطالعه را تحت تاثیر قرار می‌دهند و هدف بعدی پیدا کردن برآورد‌های مطمئن برای تابع مخاطره در زیرگروه‌های مورد بررسی می‌باشد. در مدل‌سازی داده‌های بقا، یکی از اهداف اصلی تعیین عوامل موثر بر زمان بقا می‌باشند، هم‌چنین با مدل‌سازی می‌توان برآورد تابع بقا برای هر فرد را در هر لحظه‌ی زمانی را نیز به‌دست آورد.
\subsection{هدف تحلیل بقا}
همان‌طور که در بالا گفته شد، تعیین عوامل موثر برزمان بقا، شناسایی تابع بقا و خطر و برآورد پارامترهایی که روی این توابع موثر می‌باشد، از مهم‌ترین اهداف تحلیل بقا می‌باشد. تابع بقا، رفتار احتمالاتی زمان بقا را مشخص می‌کند و تابع خطر بیان‌گر شدت لحظه‌ای خطر در زمان مشخص می‌باشد. در واقع تابع خطر یا تابع مخاطره نرخ مرگ لحظه‌ای با شرط زنده ماندن فرد تا زمان $t$ را نشان می‌دهد. در بسیاری از کاربردهای بقا، هدف مورد نظر بررسی رابطه متغیرهای کمکی با زمان بقا است. با توجه به ماهیت داده‌های زمان بقا (حضور داده‌های سانسورشده\LTRfootnote{Censored Data} و چولگی زمان‌های بقا) مدل‌های رگرسیون معمولی جوابگو نیستند و لازم است از مدل‌های رگرسیون خطر استفاده کرد. به کمک یک مدل خطر علاوه بر تعیین میزان اثر عوامل خطر به زمان بقا، می‌توان میزان خطر یا میزان بقا را برای گروه‌های مختلف پیش‌بینی کرد.\\
در واقع هدف تحلیل بقا عبارت است از: برآورد و تفسیر توابع بقا یا خطر، مقایسه توابع بقا یا خطر، ارزیابی رابطه بین متغیرهای توضیحی و زمان.
\subsection{روش‌های تحلیل بقا}
در بررسی داده‌های بقا اگر هدف، توصیف زمان بدون در نظر گرفتن متغیرهای کمکی باشد از روش‌های تحلیل ناپارامتری مانند جدول عمر و کاپلان-مه‌یر استفاده می‌شود. ولی اگر هدف، بررسی اثرات متغیرهای کمکی بر روی زمان بقا باشد مدل‌های رگرسیونی بقا مورد استفاده قرار می‌گیرد. این مدل‌ها به دو دسته اصلی تقسیم می‌شوند، مدل خطرات متناسب \LTRfootnote{Proportional Hazards} و مدل زمان شکست شتابنده\LTRfootnote{Accelerated Failure Time}. در مدل رگرسیونی خطرات متناسب اثر متغیرهای کمکی را بر روی تابع خطر به‌دست می‌آوریم. در این حالت اگر خطر پایه\LTRfootnote{Baseline Hazard} را به‌صورت پارامتری در نظر بگیریم یکی از مدل‌های نمایی، وایبل و گومپرتز\LTRfootnote{Gompertz} به‌دست می‌آیند و اگر خطر پایه به‌صورت نامعین در نظر گرفته شود مدل نیمه‌پارامتری خطرات متناسب کاکس\LTRfootnote{Cox Proportional Hazards} به‌دست می‌آید.\\
اگرچه رگرسیون کاکس کاربردی‌ترین مدل تحلیل بقا است مدل‌های پارامتریک در برخی شرایط می‌توانند مناسب‌تر باشند. اگر پیش‌فرض خطرات متناسب برقرار نباشد، نتایجی که از مدل کاکس به‌دست می‌آید، قابل اعتماد نخواهند بود. در چنین وضعیتی مدل‌های پارامتریک انتخاب مناسب‌تری می‌توانند باشند. بیشتر پژوهشگران تمایل دارند تا از مدل نیمه پارامتری کاکس استفاده کنند زیرا به پیش‌فرض‌های کمتری نیاز دارد.
\subsection{ویژگی‌ها‌ی زمان بقا}
زمان بقا، یک متغیر تصادفی غیرمنفی است که فاصله‌ی زمانی بین شروع وقوع یک پدیده‌ی خاص را اندازه‌گیری می‌کند و با $T$ آن را نشان می‌دهند. دلایلی که برای داده‌های طول عمر نمی‌توان از روش‌های متداول آماری استفاده کرد عبارتند از:\\
1) زمان بقای واقعی را نتوان اندازه‌گیری کرد که به دو صورت اتفاق می‌افتد:\\
الف) زمان بقای واقعی ممکن است بیشتر از مدت زمان مطالعه باشد و نتوان آن‌را کامل اندازه‌گیری کرد.\\
ب) در بسیاری از مطالعات بالینی، افراد شرکت کننده قبل از پایان مطالعه و به‌سادگی و به علتی غیر از علت مورد بررسی از مطالعه خارج می‌شوند. این اطلاعات ناقص سانسورشده نامیده می‌شوند. (در داده‌های طول عمر اغلب داده سانسورشده وجود دارد.) به‌همین دلیل استفاده از روش‌های معمولی آماری در مورد زمان بقا کارایی ندارد.\\
2) داده‌های طول عمر توزیع متقارنی ندارند. (این متغیرها به‌جای پیروی از توزیع نرمال از توزیع چوله پیروی می‌کند به‌دلیل این‌که در بیشتر مطالعات بقا وقایع در طرفین زمان بقا به‌وقوع می‌پیوندند، لذا این داده‌ها دارای چولگی هستند و نمی‌توان فرض نرمال بودن را در بیشتر مواقع پذیرفت.) بنابراین داده‌هایی از این نوع را نمی‌توان نرمال فرض کرد.\\
3) زمان بقا یک متغیر تصادفی غیرمنفی است (داده‌های طول عمر همیشه مثبت هستند.) در صورتی‌که در توزیع نرمال داده‌های منفی هم وجود دارد.\\
برای مشخص نمودن زمان بقا می‌بایست سه مولفه:\\
1) مبدا زمان\\
2) مقیاس و واحد زمان\\
3) مفهوم شکست یا وقوع حادثه\\ 
به طور واضح و دقیق تعریف شود و هیچ‌گونه ابهامی برای آن‌ها وجود نداشته باشد.
\subsubsection*{مبدأ زمانی یا نقطه ورود}
مبدأ زمان در مطالعه برای هر فرد بایستی دقیقاً مشخص شود. یکسان بودن تقویمی مبدأ زمان برای همه‌ی افراد شرکت کننده در مطالعه ضروری نیست و بسیاری اوقات امکان‌پذیر نمی‌باشد بلکه بسیاری از مطالعات زمان ورود فرد به مطالعه را به‌عنوان نقطه‌ی ورود در نظر می‌گیرند. در یک کارآزمایی بالینی، طبیعی به نظر می‌رسد که زمان انتساب بیماران به درمان‌های مختلف را به‌عنوان مبدأ زمان در نظرگیرند. 
\subsubsection*{مقیاس و واحد زمان}
اندازه‌گیری زمان در حقیقت به‌وسیله‌ی وقت ساعتی که همان وقت حقیقی می‌باشد صورت می‌گیرد یا می‌تواند بر حسب میزان استفاده از یک سیستم مانند تعداد رادیوگرافی انجام شده به‌وسیله یک دستگاه یا مقدار کار انجام شده آن محاسبه گردد. بسیار اتفاق می‌افتد که میزان کار و یا استفاده تجمعی از چیزی جایگزین مقیاس  واحد زمان شود.
\subsubsection*{شکست یا حادثه}
تعریف حادثه نیز باید مانند بقیه موارد دقیقاً مشخص گردد به این دلیل که این زمان وقوع حادثه است که به عنوان پیامد مد نظر، باید تجزیه و تحلیل روی آن انجام گیرد. این حوادث ممکن است گاه ناگوار باشد مانند مرگ به دلیلی خاص یا عود و بازگشت به شرایط اولیه بیماری. گاه می‌تواند یک پیشامد خوشایند چون مرخص شدن یک بیمار از بیمارستان باشد یا حتی ممکن است مربوط به تکمیل و انجام یک وظیفه مشخص مثل پیمودن یک فاصله یا نوشتن یک ورقه امتحانی باشد.\\
اما در زمینه‌های پزشکی، معمولاً مرگ به علت خاص و مشخص شده‌ای را به‌عنوان حادثه تعریف می‌کنند، بروز یک بیماری جدید نیز می‌تواند به‌عنوان حادثه در نظر گرفته شود. اما چون معمولاً انتخاب‌های بیشتری برای این‌کار وجود ندارد تعریف نمودن حادثه و شکست چیز پیچیده و مبهمی نخواهد بود.
\subsubsection*{تصویری از داده‌های بقا}
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.5]{fig38.png}
\end{center}
\caption{تصویری از داده‌های بقا \label{fig1-1}}.
\end{figure}
شکل \ref{fig1-1} نمایش ویژگی‌های متعددی از داده‌های بقا را نشان می‌دهد که به‌طور معمول در تجزیه و تحلیل داده‌های بقا مواجه می‌شوند:\\ 
1) زمان ورود همه افراد به مطالعه یکسان نیست.\\
2) زمانی که مطالعه به‌پایان می‌رسد، برخی از افراد هنوز تا آن زمان اتفاقی نداشته‌اند.\\
3) افراد دیگر در وسط راه، یا مطالعه را رها کرده‌اند و یا از دست رفته‌اند (گمشده‌اند). 
\section{ داده‌های سانسورشده}
ویژگی اصلی داده‌های بقا در مقایسه با دیگر داده‌های آماری، وجود داده‌های سانسورشده می‌باشد. به عبارت دیگر، در اکثر مطالعات آینده‌نگر، امکان مشاهده تمام افراد تا وقوع پیشامد یا رخداد مورد نظر امکان‌پذیر نیست. در این حالت این نوع داده‌ها را سانسور می‌گویند. منظور از داده سانسورشده، مشاهداتی است که زمان دقیق رخداد مشاهده برای آن‌ها مجهول بوده و در مورد آن داده فقط تا زمانی خاص، اطلاعاتی در دسترس می‌باشد. مشاهدات سانسورشده در نتیجه خارج شدن افراد از مطالعه، گم شدن یا از دست دادن اطلاعات افراد و یا ناکافی بودن مدت زمان پیگیری مطالعه است. اکثر داده‌های بقا از نوع سانسور راست\LTRfootnote{Right Censoring} می‌باشند. در این حالت زمان شکست واقعی از مقدار مشاهده شده بیشتر است. از دلایل معمول سانسور سمت راست عدم شکست (حذف) قبل از پایان مطالعه می‌باشد. در بعضی از مطالعات نیز ممکن است پیشامد مورد نظر برای یک آزمودنی قبل از شروع مطالعه رخ داده باشد اما زمان رخداد پیشامد نامشخص باشد. در این‌صورت زمان بقای واقعی کمتر از زمان ثبت شده خواهد بود که به آن سانسور چپ\LTRfootnote{Left Censoring} می‌گویند. در این حالت حذف (شکست) قبل از نقطه‌ی شروع اتفاق می‌افتد. یکی از انواع پیچیده سانسور حالتی است که زمان دقیق رخداد پیشامد مشخص نیست و فقط می‌دانیم که پیشامد در یک بازه زمانی اتفاق افتاده است که به آن سانسور فاصله‌ای\LTRfootnote{Interval Censored} می‌گویند.
\subsection{ انواع سانسورها}
\subsection{ سانسور نوع اول}
فرض کنید $n$ واحد در یک آزمایش طول عمر قرار گرفته باشد، اگر آزمایش را تا زمان $t$ ادامه بدهیم سپس واحدهایی را که تا لحظه $t$ از کار نیفتاده‌اند از آزمایش خارج نماییم، سانسور نوع اول صورت گرفته است. در این نوع سانسور زمان مشخص، $t$ و تعداد واحدهایی را که تا لحظه $t$ از کار می‌افتد، متغیر تصادفی است. نمونه‌های تولید شده در سانسور نوع اول را با نمادهای:
\begin{equation*}
X_{1:t},X_{2:t},...,X_{m:t}
\end{equation*}
نشان داده می‌شوند.
اگر ${X_{1:t},X_{2:t},...,X_{m:t}}$ یک نمونه‌ی سانسورشده نوع اول از یک تابع توزیع $F(X)$ و تابع چگالی $f(X)$ باشند، تابع چگالی توأم آن‌ها از رابطه‌ی زیر به‌دست می‌آید.
\begin{equation*}
f_{X_{1:t},X_{2:t},...,X_{n-m:t}}(x_{1:t},x_{2:t},...,x_{n-m:t})=
\dfrac{n!}{(n-m)!}\lbrace{\Pi_{i=1}^m f(X_i)}\rbrace[1-F(t)]^{(n-m)}
\end{equation*}
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.5]{fig46.png}
\end{center}
\caption{سانسور نوع اول \label{fig1-2}}
\end{figure}
نحوه‌ی به‌دست آمدن یک نمونه سانسور نوع اول در شکل \ref{fig1-2} نشان داده شده است.\\
\subsection{ سانسور نوع دوم}
فرض کنید $n$ واحد در یک آزمایش طول عمر قرار گرفته باشد. هنگامی آزمایش را خاتمه می‌دهیم که $m$ تا ($m<n$ تعداد مشخص) از واحدهای آزمایش از کار بیفتد، بنابراین اگر $X_{1:m:n},X_{2:m:n},...,X_{m:m:n}$ زمان شکست مشاهده شده $m$ واحد از این $n$ واحد باشد و در مورد $n-m$ واحدباقی مانده تنها این اطلاع را داریم که طول عمر آن‌ها از $x_{m:m:n}$، بیشتر است، اصطلاحاً گوییم $n-m$ قطعه سانسور نوع دوم شده‌اند. (در نوع دوم $m$ ثابت و $X_{m:m:n}$ متغیر تصادفی است).
نمونه‌های تولید شده در سانسور نوع دوم را با نماد:
\begin{equation*}
X_{1:m:n},X_{2:m:n},...,X_{m:m:n}
\end{equation*}
نشان می‌دهند.
تابع چگالی توأم یک نمونه سانسور نوع دوم به‌صورت زیر است:
\begin{equation*}
f_{X_{1:m:n},X_{2:m:n},...,X_{m:m:n}}(x_{1:m:n},x_{2:m:n},...,x_{m:m:n})=
\dfrac{n!}{(n-m)!}\times\Pi_{i=1}^m f(X_{i:m:n})[1-F(X_{i:m:n})]^{n-m}
\end{equation*}
\begin{equation*}
X_{1:m:n}<X_{2:m:n}<...<X_{m:m:n}
\end{equation*}
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.5]{fig45.png}
\end{center}
\caption{سانسور نوع دوم \label{fig3-1}}.
\end{figure}
نمودار برای نمونه‌ی سانسورشده‌ی نوع دوم به‌صورت شکل \ref{fig3-1} است:\\ 
\subsection{ سانسور تصادفی}
این‌گونه سانسورها به مواردی اطلاق می‌شوند که توقف مشاهدات در اختیار و کنترل محقق نباشد. دلایل متعددی برای این‌کار وجود دارد از آن‌جمله: افراد مورد بررسی به مناطق دیگری مهاجرت کرده باشند که تماس با آن‌ها ممکن نباشد، یا از ادامه همکاری و شرکت در مطالعه منصرف شده باشند و یا حتی به علل دیگری مانند تصادف و... که مد نظر مطالعه نیست فوت کرده باشند. حالت دیگر سانسور تصادفی زمانی است که زمان توقف مطالعه برای همه‌ی افراد نمونه یکسان و از قبل مشخص شده باشد ولی زمان ورود آن‌ها به مطالعه متفاوت و تصادفی باشد. در این نوع بررسی‌ها به‌جای تعیین یک دوره‌ی زمانی مشخص، تاریخ اتمام بررسی را از قبل تعیین می‌کنند. بنابراین همه کسانی که درآن تاریخ زنده هستند سانسور تصادفی می‌باشند چون زمان ورودشان به مطالعه، در اختیار و کنترل محقق نبوده است.\\
در پایان مطالعه، نمونه‌ی ما شامل $n$ جفت از اعداد $(t_i,\delta_i)$ است، که در آن $\delta_i$ یک متغیر نشانگر برای وضعیت بقاست ($\delta_i=0$ اگر $i$امین فرد سانسورشده باشد؛ $\delta_i=1$ اگر برای فرد $i$ام، ناتوانی یا حادثه رخ داده باشد)، اگر$\delta_i=1$، $t_i$ زمان ناتوانی یا رخداد پیشامدی را نشان می‌دهد و اگر $\delta_i=0$، $t_i$ معرف زمان سانسور شدن است، $t_i$ زمان دوام نیز نامیده می‌شود. ممکن است علاوه بر $t_i$ و $\delta_i$ مجموعه‌ی $K$ متغیرکمکی $(X_{1i},X_{2i},...,X_{ki})$ همراه با $i$امین فرد را در نظر بگیریم که بیانگر همه‌ی عامل‌های همراه مانند سن، جنس، درمان و غیره هستند.\\
\subsection{سانسور از راست}
در مطالعات مربوط به طول عمر معمولاً با سه سانسور‌شدگی، سانسور از راست، سانسور از چپ و سانسور فاصله‌ای سرو کار داریم.\\
اگر پیشامد مورد نظر تا پایان دوره‌ی مطالعه رخ ندهد یا به هر دلیلی برخی از مشاهدات، نظیر از دست رفتن در دوره‌ی پیگیری، از مطالعه خارج شود؛ سانسور از راست بوجود می‌آید. در این حالت زمان دقیق رخداد پیشامد در زمانی نامشخص و پس از اتمام مطالعه رخ خواهد داد. در واقع اگر زمان بقای واقعی آزمودنی بیشتر از زمان ثبت شده باشد، یعنی $T>C>T_0$ ($C$ زمان ثبت شده باشد) که در آن $T_0$ زمان ورود آزمودنی به مطالعه و  $T$ زمان بقای واقعی است، در این‌صورت مشاهده سانسور شده راست نامیده می‌شود.
\subsection{سانسور از چپ}
اگر پیشامد مورد نظر برای برخی از مشاهدات، در زمانی قبل از شروع مطالعه رخ داده باشد به‌طوری‌که زمان دقیق آن‌ها نامعلوم باشد؛ سانسور از چپ رخ خواهد داد. به‌عبارت دیگر اگر زمان بقای واقعی آزمودنی کمتر از زمان ثبت شده باشد یعنی $T<T_0$، که در آن $T_0$ زمان ورود آزمودنی به مطالعه و  $T$ زمان بقای واقعی است، در این‌صورت مشاهده سانسور شده چپ نامیده می‌شود.
\subsection{ سانسورفاصله‌ای}
 درحقیقت ترکیبی از هر دو نوع سانسور چپ و راست با هم است به‌عبارت دیگر زمان بقای واقعی دقیقاً مشاهده نشده است اما می‌دانیم این زمان در یک فاصله $T_{lo}<T<T_{up}$ قرار دارد، سانسور شده فاصله‌ای نامیده می‌شود. بنابراین هر مشاهده به‌صورت $(T_{lo}, T_{up}, \delta)$ قابل بیان است،  به‌طوری که اگر مشاهده سانسور نشده باشد، یعنی $\delta=1$ و $T_{lo}=T_{up}=T$ و اگر مشاهده از راست سانسور شده باشد، آن‌گاه $\delta=0$ و $T_{lo}=T_{up}=C$ و اگر مشاهده سانسور شده فاصله‌ای باشد، پس $\delta=0$ و  $T_{lo}<T_{up}$. برای مطالعه بیشتر به بیسواس\LTRfootnote{Biswas} و همکاران
  \cite{Biswas}
 مراجعه شود.
\section{تابع بقا}
تابع بقا که آن ‌را با $S(t)=1-F(t)$ نمایش می‌هیم عبارت است از احتمال این‌که طول عمر بزرگتر یا مساوی $t$ باشد، (یعنی یک فرد بیشتر از $t$ واحد زمانی زنده بماند).\\ 
توزیع $T$ (زمان بقا از نقطه‌ی مثبت یا نقطه‌ی آغاز تا پیشامد مورد نظر که به‌صورت یک متغیر تصادفی در نظر گرفته می‌شود) به‌وسیله‌ی هر یک از دو تابع هم‌ارز، تابع بقا و خطر مشخص می‌شود. معمولا توزیع $T$ مانند یک متغیر تصادفی است که به‌وسیله‌ی تابع چگالی $f(t)$ یا تابع توزیع تجمعی $F(t)$مشخص می‌شود و $t$ طول عمر واقعی یک فرد می‌باشد. تابع توزیع $T$ به‌صورت
\begin{eqnarray*}
F(t)=p(T<t)=\int_0^t f(u)du
\end{eqnarray*}
است، به‌طوری‌که
\begin{eqnarray*}
F(t)&=&lim_{\delta\rightarrow0}\dfrac{p(t<T<t+\delta)}{\delta}\cr
&=&1-p(T\geq t)\cr
&=&S(t)=1-F(t)\cr
&&S(0)=1     ,    ~~~~~~      S(\infty)=0.
\end{eqnarray*}
که در آن $S(t)$ تابع بقا احتمال زنده ماندن از زمان شروع تا زمان $t$ را نشان می‌دهد. $S(t)$ یک تابع نزولی روی بازه $[0, \infty)$ است. نموداری که $S(t)$ را برحسب $t$ نشان می‌دهد نمودار بقا نامیده می‌شود که همواره از عدد 1 شروع و به طرف صفر نزول می‌کند. منحنی با شیب تند، بقای کوتاه‌تر و منحنی با شیب کمتر یا یکنواخت بقای طولانی‌تر را نشان می‌دهد، شکل \ref{fig1-4}.
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.5]{fig48.png}
\end{center}
\caption{نمودار بقا \label{fig1-4}}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.5]{fig47.png}
\end{center}
\caption{برآورد تابع بقا برای یک مجموعه واقعی\label{fig1-5}}.
\end{figure}
ولی در عمل وقتی از داده‌های واقعی استفاده می‌کنیم برآورد شکل تابع بقا پله‌ای و به‌صورت شکل \ref{fig1-5} خواهد بود و تابع بقا تجربی\LTRfootnote{Emprical Survival Function} نامیده می‌شود و به‌صورت 
\begin{eqnarray*}
S_n(t)=\dfrac{\text{تعداد مشاهدات}>t}{n}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n I(t,\infty)(t_i)
\end{eqnarray*}
محاسبه می‌گردد که در آن $I(\cdot)$ تابع نشانگر\LTRfootnote{Indicator Function} است، $S_n(t)$ برآوردگر نااریب $S(t)$ است.
\section{تابع خطر}
تابع خطر در زمان $t$ عبارت است از احتمال مرگ یک فرد در زمان $t$ به شرطی که فرد تا آن زمان زنده باشد. بنابراین تابع خطر احتمال مرگ آنی برای یک فرد را که تا زمان $t$ زنده است را نشان می‌دهد. تابع خطر، برآورد احتمال از دست رفتن به‌صورت تابعی از زمان است که این مقدار $h(t)$ می‌تواند بیشتر از یک باشد و احتمال واقعی نیست. این تابع با تابع چگالی تفاوت دارد و به‌صورت کسر یک احتمال شرطی است. تابع خطر می‌تواند در طول زمان افزایشی، کاهشی یا ثابت باشد.\\
بنا به تعریف، تابع خطر به‌صورت
\begin{equation*}
h(t)=lim_{\delta_t\rightarrow 0}\lbrace\dfrac{p(t<T<t+\delta_t\vert T\geq t)}{\delta_t}\rbrace
\end{equation*} 
می‌باشد، از این تعریف می‌توان بعضی از روابط مهم بین تابع بقا و تابع خطر را به‌دست آورد.

با استفاده از تعریف احتمال شرطی
\begin{equation*}
\dfrac{p(t\leq T<t+\delta_t)}{p(T\geq t)}=\dfrac{F(t+\delta_t)-F(t)}{S(t)},
\end{equation*}
که در آن $F(t)$ تابع توزیع $t$ است، بنابراین
\begin{equation*}
h(t)=lim_{\delta_t\rightarrow 0}\lbrace\dfrac{F(t+\delta_t)-F(t)}{\delta_t}\rbrace \dfrac{1}{S(t)}
\end{equation*}
که در آن $lim_{\delta_t\rightarrow 0}\dfrac{F(t+\delta_t)-F(t)}{\delta_t}=f(t)$
می‌باشد و $f(t)$ مشتق $F(t)$ است. پس 
\begin{eqnarray*}
&&h(t)=\dfrac{f(t)}{S(t)}\cr
&&h(t)=-\dfrac{d}{dt}\lbrace log S(t)\rbrace\cr
&&S(t)=exp \lbrace -H(t)\rbrace\cr
&&H(t)=\int_0^t h(u)du.
\end{eqnarray*}
$H(t)$ را تابع خطر تجمعی\LTRfootnote{Cumulative Hazard Function} می‌نامیم. ارتباط بین تابع بقا، تابع خطر و تابع خطر تجمعی به‌صورت 
\begin{equation*}
S(t)=\exp[-H(t)]=\exp[-\int_0^t h(u)du]
\end{equation*}
قابل بیان است و بنابراین $H(t)=-\log(S(t))$ است.\\
تابع درستنمایی به‌صورت $L=\Pi L_i$ است که در آن اگر آزمودنی $i$ام سانسور نشده باشد و $T$ زمان بقای آن باشد آن‌گاه تابع درستنمایی 
\begin{equation*}
L_i=h(T) S(T)=h(T)\exp\{-\int_{0}^{T} h(u)d(u)\},
\end{equation*}
و اگرآزمودنی   $i$ام سانسورشده باشد، $h(t)=1$ و 
%\begin{equation*}
$L_i=S(c)=\exp\{-\int_{0}^{c} h(u)du\}$
%\end{equation*}
و اگر آزمودنی $i$ سانسور شده فاصله‌‌ای باشد: 
\begin{equation*}
L_i=S(T_{lo})-S(T_{up})=\exp\{-\int_{0}^{T_{lo}} h(u)du\}\{1-\exp(-\int_{T_{lo}}^{T_{up}} h(u)du)\},
\end{equation*}
و لگاریتم درستنمایی ترکیبی برای داده $i$ام $(T_{lo}, T_{up}, \delta_i)$ به شکل کلی 
\begin{equation*}
l_i=\delta_i h(T_{up,i})-{\int_{0}^{T_{up,i}} h(u)du}+\log\{1-\exp(-\int_{T_{lo,i}}^{T_{up,i}} h(u)du)\},
\end{equation*} 
قابل بیان است.
\section{برآورد احتمال بقا}
در بررسی داده‌های بقا اگر هدف، توصیف زمان بقا بدون در نظر گرفتن متغیرهای کمکی باشد از روش‌های تحلیل ناپارامتری مانند جدول عمر و کاپلان-مه‌یر استفاده می‌شود به‌طوری‌که احتمال بقا را می‌توان با دو روش، کاپلان-مه‌یر و روش طول عمر محاسبه و برآورد نمود.\\
\subsection{روش کاپلان-مه‌یر}
روش کاپلان-مه‌یر
\cite{Kaplan}
 برای نمونه‌های کوچک‌تر که زمان وقوع حوادث به‌دقت ثبت و اندازه‌گیری می‌شود بسیار مفید است. در این روش، تعداد کل افراد شرکت کننده در مطالعه که تحت پیگیری و مراقبت قرار دارند $n$ فرد و زمان‌های مشاهده شده $t_1,t_2,\cdots,t_n$ است. زمان بقای بعضی از این افراد ممکن است ثبت نشده باشد (گمشده راست) همچنین ممکن است بیش از یک مشاهده برای هر یک از زمان‌های بقا وجود داشته باشد.\\
تعداد حوادث مد نظر (مرگ) مشاهده شده در مطالعه$r$ می‌باشد که $r\leqslant n$ خواهد بود. ابتدا باید زمان‌های بقای مشاهده شده را به ترتیب صعودی مرتب نمود به طوری‌که $t_1<t_2<\cdots<t_n$ باشد.
حال تعداد افرادی که قبل از زمان خاص $t_i$ زنده مانده‌اند از جمله آن‌هایی که در همین زمان مرده‌اند با $n_i$ نشان داده می‌شود.  $d_i$ نیز تعداد افرادی را که در این فاصله زمانی می‌میرند نشان می‌دهد. این بدان معناست که در فاصله $t_{i-1}$ تا $t_i$ تعداد  $d_i$ مورد مرگ اتفاق افتاده‌ است.\\
چون تعداد افراد شرکت کننده در این مدت $n_i$ نفر بوده که تعداد $d_i$ نفر آن‌ها مرده‌اند بنابراین احتمال این‌که یک نفر در فاصله زمانی فوق بمیرد برابر با $\dfrac{d_i}{n_i}$ است. 
احتمال زنده ماندن یک نفر در فاصله زمانی فوق برابر با $1-\dfrac{d_i}{n_i}$ می‌باشد که به احتمال بقا در فاصله فوق معروف است.\\
برآورد کننده $KM$ برای فاصله زمانی کمتر از $t$ که با $s(t)$ نشان داده می‌شود برابر با حاصل‌ضرب احتمالات زنده ماندن همه فواصل زمانی کمتر از $t$ (که تعداد آن فواصل  $k$ تا می‌باشد) تا خود آن زمان در یک‌دیگر است، یعنی:
\begin{equation*}
s(t)=\Pi_{i=1}^k(1-\dfrac{d_i}{n_i}).
\end{equation*}
\subsection{روش طول عمر}
وقتی که تعداد مشاهدات و بیماران مورد بررسی زیاد باشند احتمال وجود زمان‌های بقای یکسان قوت می‌گیرد. بدین معنا که ممکن است بیش از یک حادثه در هر زمان رخ دهد. در این‌صورت روش $KM$ جداول بسیار طولانی را موجب می‌شود که ارائه و تفسیر آن خیلی مطلوب نبوده و وقت‌گیر خواهد شد.\\
بنابراین روش دیگری را به‌نام روش طول عمر استفاده می‌کنند که در آن زمان وقوع حوادث را به‌صورت فواصل زمانی تقسیم‌بندی می‌کنند. این فاصله‌بندی به دلخواه می‌تواند کم و زیاد گردد و الزامی به تساوی فاصله گروه‌ها نمی‌باشد. هر چند مساوی بودن آن‌ها معمول و متداول است. این روش می‌تواند نمودارها و برآوردهایی از توابع بقا و خطر را ارائه دهد.\\
در این روش تعداد وقایع اتفاق افتاده (مرگ‌ها) و تعداد گمشده‌ها را به ترتیب با $d_i$ و $c_i$ و تعداد کل افراد زنده در معرض خطر مرگ در ابتدای هر فاصله با $n_i$ نشان داده می‌شود. تعداد کل افراد تحت مراقبت را در اولین ردیف این ستون گذاشته و سپس متوالیاً تعداد مرگ‌ها و تعداد گمشده‌ها از آن کم می‌شود حال اگر چنین فرض شود که فرآیند گم‌شدن و از دست دادن افراد در طول فاصله زمانی $i$ام به طور یکنواخت اتفاق میافتد، آن‌گاه متوسط تعداد افراد در معرض خطر برابر
\begin{equation*}
n'_i=n_i-\dfrac{c_i}{2}
\end{equation*}
خواهد بود. چون احتمال مرگ در فاصله زمانی $i$ام برابر $q_i=\dfrac{d_i}{n'_i}$ است، لذا احتمال بقا برابر با $(1-q_i)$ است و سپس تابع بقا به‌صورت
\begin{eqnarray*}
s^*(t)=\Pi_{i=1}^k(1-q_i)=\Pi_{i=1}^k(\dfrac{n'_i-d_i}{n'_i})
\end{eqnarray*}
می‌باشد.
\section{داده‌های فضایی}
آمار فضایی شاخه‌اي از علم آمار است که به بررسی متغیرهایی می‌پردازد که ساختار فضایی از خود نشان می‌دهند. این شاخه از آمار می‌کوشد بین مقادیر مختلف یک متغیر و فاصله و جهت قرارگیري آن‌ها نسبت به هم ارتباطی برقرار کند. این ارتباط فضایی ساختار فضایی نام دارد. بنابراین مشاهداتی که همبستگی آن‌ها ناشی از موقعیت آن‌ها در فضای مورد مطالعه است و این همبستگی نوعاً تابعی از فاصله قرار گرفتن مشاهدات از یک‌دیگر در فضای مورد مطالعه است را داده‌های فضایی گویند.
داده‌های فضایی علاوه بر مقادیر مربوط به متغیر یا متغیرهای مورد بررسی، اطلاع مربوط به مکان مشاهده را نیز شامل می‌شوند. بنابراین  منطقی به نظر می‌رسد که مشاهده مربوط به یک مکان به نوعی به مشاهدات سایر مکان‌ها وابسته باشد. داده‌های زمانی نیز دارای چنین خصوصیتی هستند، با این تفاوت که زمان یک جریان یک‌طرفه است و همواره رو به جلو حرکت می‌کند، یعنی از گذشته شروع و از طریق حال به آینده جریان دارد. درحالی‌که در داده‌های فضایی همبستگی در همه جهات منظور می‌شود و مکان مشاهدات در فضای چند بعدی واقع شده و ممکن است به‌طور منظم و متوالی روی یک خط قرار نداشته باشند. در این صورت مفهوم ترتیب موقعیت مشاهدات برای داده‌های  فضایی معنایی ندارد. همبستگی‌های فضایی ممکن است در جهت‌های مختلف متفاوت باشند. در صورت یکسان بودن همبستگی‌ها در جهات مختلف، وضعیت را همسان‌گرد می‌نامند. تحلیل آماری داده‌های فضایی با روش‌های آماری معمول مقدور نیست، زیرا شرط اساسی که همان استقلال داده‌هاست، تحقق پیدا نمی‌کند. از این ‌رو شاخه آمار فضایی برای تحلیل این‌گونه مشاهدات شکل گرفته و با فراهم آمدن فنون مختلف در حال توسعه است. در واقع آمار فضایی شاخه‌ای از علم آمار است که در آن به بررسی متغیرهایی پرداخته می‌شود که از خود ساختار همبستگی فضایی نشان می‌دهند. داده‌های فضایی به سه دسته تقسیم می‌شوند.\\
۱-  زمین آمار \\
 ۲- مشبکه‌ای\LTRfootnote{Lattice}\\
 ۳- الگوی نقطه‌ای\LTRfootnote{Point Pattern}.\\
در زمین آمار متغیرهای فضایی ممکن است گسسته یا پیوسته باشند و در موقعیت‌های ثابت و مشخص در ناحیه‌ای پیوسته مشاهده می‌شوند. به‌عنوان مثال برای حالت پیوسته می‌توان غلظت مواد معدنی در داخل یک معدن، مقدار ریزش باران ثبت شده در ایستگاه‌های هواشناسی و برای حالت گسسته می‌توان تعداد نوعی جانور دریایی در یک سری از مکان‌های نمونه‌گیری شده در طول یک ساحل را نام برد. 
 این نوع داده‌ها مربوط به مکان‌های ناحیه‌ای هستند، که این مکان‌ها ممکن است منظم یا نامنظم باشند. تصاویر ماهواره‌ای از سطح زمین که در آن‌ها سطح زمین به تعدادی عنصر تصویر\LTRfootnote{Pixel} کوچک به‌صورت مشبکه منظم در$ R^2 $ تقسیم شده، مثالی برای داده‌های مشبکه‌ای منظم است. تعداد افراد مبتلا به سرطان در تمام مناطق خدمات درمانی کشور مثالی برای داده‌های مشبکه‌ای نامنظم است. در این حالت کل افراد مبتلا به سرطان در هر شهرستان در مرکز خدمات درمانی آن شهرستان در نظر گرفته می‌شوند. تعداد حوادث رانندگی، تعداد اتباع خارجی غیر مجاز ساکن یا نرخ رشد اقتصادی هر استان، مثال‌های دیگر از داده‌های مشبکه‌ای هستند.
در الگوی نقطه‌ای مکان یا موقعیت مشاهده شده خود متغیری تصادفی است. الگوهای نقطه‌ای شامل تعداد متناهی از مکان‌ها در یک ناحیه‌اند که در آن‌ها یک صفت خاص اندازه‌گیری می‌شود. یک مثال از این نوع مشاهدات موقعیت گونه‌ای از درختان در یک ناحیه جنگلی یا موقعیت مراکز زلزله است.\\
معمولاً برای تجزیه و تحلیل داده‌های فضایی یک میدان تصادفی \LTRfootnote{Random Field} به صورت
\begin{eqnarray*}
 \{Y(s);s\in D\subset R^d\}
 \end{eqnarray*}
در نظر گرفته می‌شود، که در آن $\bm{D}$ زیر مجموعه‌ای از فضای اقلیدسی $R^{d}$ ، $d\geq1$ بعدی  است. $s$
 یکی از اجزای اصلی داده‌های فضایی و نشان دهنده موقعیت‌های فضایی است.
 اگر $Y(\cdot)$ متغیر مورد بررسی در این فضا باشد در این‌صورت $Y(s_1),...,Y(s_n)$ داده‌های مشاهده شده در موقعیت‌های $s_1,s_2,...,s_n$ هستند. 
میانگین و کواریانس $ Y(s) $ به‌صورت 
\begin{eqnarray*}
E(Y(s)) &=&\mu(s);~~~~ s\in D \subset R^d ,\cr
C(s_1,s_2) &=&Cov(Y(s_1),Y(s_2)); ~~~~s_1,s_2 \in D \subset R^d ,
\end{eqnarray*}
می‌باشند و برای $s= s_1 =s_2 $  واریانس میدان تصادفی به‌صورت
\begin{equation*}
 C(s_1,s_1) = Var(Y(s)) = E(Y(s) - E(Y(s)))^{2} ,
\end{equation*}
تعریف می‌شود.
به‌طور معمول تحلیل داده‌های فضایی بر اساس مشاهدات نمونه دشوار است، اما برخی ویژگی‌های میدان تصادفی از جمله انواع مانایی مانند ذاتی\LTRfootnote{Intrinsic Stationary}، مرتبه دوم\LTRfootnote{Second Order Stationary}، قوی\LTRfootnote{Strong Stationary} و گاوسی\LTRfootnote{Gaussian} موجب ساده‌سازی مساله خواهند شد. میدان تصادفی $Y(\cdot)$ مانای ذاتی نامیده می‌شود، هرگاه میانگین میدان تصادفی ثابت یا مستقل از $s$ باشد، یعنی $E(Y(s))= \mu$ و واریانس عبارت $(Y(s_1)-Y(s_2))$، فقط تابعی از فاصله‌ی موقعیت‌های $s_1$ و $s_2$ باشد.
همچنین میدان تصادفی $Y(\cdot)$ مانای مرتبه دوم یا مانای ضعیف نامیده می‌شود، هرگاه میانگین میدان تصادفی $Y(\cdot)$ مستقل از $ s $ و ثابت باشد و کوواریانس $ Y(s_1) $ و $Y(s_2) $، فقط تابعی از فاصله‌ی موقعیت‌های $s_1$ و $s_2$ باشد، یعنی
\begin{eqnarray*}
Cov(Y(s_1),Y(s_2))=C(s_1-s_2).
\end{eqnarray*}
واضح است که تحت مانایی ضعیف
\begin{equation*}
Var(Y(s)) = Cov(Y(s),Y(s)) = C(0) = \sigma^2
\end{equation*}
یعنی واریانس میدان تصادفی به موقعیت فضایی بستگی ندارد و تغییرپذیری میدان در همه‌جا یکسان است.
 میدان تصادفی $ Y(\cdot) $ مانای قوی نامیده می‌شود، هرگاه برای همه‌ی موقعیت‌های $ s_1, \cdots, s_n $ و تاخیر $ h $، توزیع توأم $ Y(s_n),\cdots,Y(s_1) $ همانند توزیع توأم $ Y(s_n+h),\cdots,Y(s_1+h) $ باشد. یعنی
 \begin{equation*}
 (Y(s_1), \cdots, Y(s_n)) \stackrel{d}{=} (Y(s_1+h),\cdots,Y(s_n+h) ).
 \end{equation*}
 به‌عبارتی در صورت انتقال موقعیت‌های $ s_1,...,s_n $ در راستای $ h\in R^d $، توزیع توأم $ Y(s_n),\cdots,Y(s_1) $ تغییر نکند. می‌توان ثابت کرد که مانای قوی شرط کافی برای مانای مرتبه دوم و مانای مرتبه دوم شرط کافی برای مانای ذاتی است، ولی در حالت کلی عکس آن‌ها برقرار نیست. 
میدان تصادفی $ Y(\cdot) $، گاوسی نامیده می‌شود، هرگاه برای هر $ m\geqslant 1 $ توزیع توام $ (Y(s_1), \cdots, Y(s_m)) $ نرمال چند متغیره باشد.
\section{استنباط بیزی}
امروزه در علوم مختلف به‌طورگسترده از روش بیزی برای استنباط‌های آماری استفاده می‌شود. تفاوت اساسی روش کلاسیک با روش بیزی آن است که در روش کلاسیک پارامتر $\theta$، کمیتی ثابت و نامعلوم در جامعه است که براساس یک نمونه تصادفی از آن جامعه در مورد آن آگاهی به‌دست می‌آوریم. در حالی‌که در روش بیزی $\theta$ کمیت ثابتی نیست بلکه متغییری تصادفی است که در حوزه‌ی مقادیرش تغییر کرده و تغییرات آن توسط یک توزیع احتمال پیشین بیان می‌شود. این توزیع که براساس باور آزمایش‌گر است بایستی قبل از این‌که داده‌ها مشاهده شوند تعیین گردد. در استنباط بیزی توزیع پیشین با اطلاعات نمونه‌ای ترکیب و توزیع جدیدی حاصل می‌شود که آن‌را توزیع پسین می‌نامند.\\
رهیافت بیزی اولین‌بار در آمار فضایی توسط کیتانیدیس\LTRfootnote{Kitanidis}
\cite{Kitanidis}
 پیشنهاد شد. هندکوک\LTRfootnote{Handcoch} و اشتین\LTRfootnote{Stein}
\cite{Handcoch}
نیز با اشاره به مشکلات استفاده از روش‌های بیزی از جمله تعیین توزیع پیشین و محاسبه پیچیده توزیع پیش‌گوی بیزی، برای سادگی محاسبات از توزیع‌های پیشین ناسره\LTRfootnote{Improper} استفاده کردند. اکر\LTRfootnote{Ecker} و جلفند\LTRfootnote{Gelfand}
\cite{Ecker}
 برآورد بیزی پارامترهای تغییرنگار کروی را مورد تجزیه و تحلیل قرار دادند. در روش بیزی بر خلاف روش درستنمایی ماکسیمم که یک برآورد $ \theta $ را در مدل جایگزین و بر اساس آن پیش‌گویی را انجام می‌دهد، روی همه مقادیر ممکن $ \theta $ میانگین‌گیری می‌شود. یعنی در این روش بر اساس مشاهداتی که از خانواده توزیع‌ها اختیار می‌شود، پارامتر $ \theta $ دارای یک مقدار نامعلوم است. به عبارت دیگر، در حقیقت $ \theta $ به عنوان یک متغیر تصادفی در نظر گرفته می‌شود که مقادیر ممکن آن فضای پارامتر $ \Theta $ است و مثلا دارای توزیع $ G( \theta ) $ یا تابع احتمال $ g( \theta ) $ است و از آن به عنوان توزیع پیشین یا تابع احتمال پیشین یاد می‌شود.\\
فرض کنید متغیر تصادفی $Y$ نشان‌دهنده مشاهدات نمونه بوده که دارای تابع چگالی $f(y\mid\theta)$ است. اگر چگالی پیشین پارامتر $\theta$ را $\pi(\theta)$ در نظر بگیریم آن‌گاه چگالی پسین $\theta$ عبارتست از:
\begin{equation*}
\pi(\theta\mid y)=\dfrac{\pi(\theta)f(y\mid\theta)}{f_Y(y)}
\end{equation*}
که در آن $f_Y(y)$ چگالی حاشیه‌ای $Y$ است. در روش بیزی کلیه استنباط‌ها در مورد پارامتر نامعلوم $\theta$ براساس توزیع پسین انجام می‌گیرد. ویژگی اساسی استنباط بیزی، تعدیل آگاهی و اطلاعات غیرنمونه‌ای به‌صورت توزیع‌های احتمال و ترکیب آن با اطلاعات نمونه‌ای است. در صوررت عدم وجود اطلاعات غیرنمونه‌ای، به‌کارگیری توزیع‌های پیشین فاقد اطلاع یا ناسره و ترکیب آن با اطلاعات نمونه‌ای می‌تواند نتایجی معادل با استنباط کلاسیک را به‌دست می‌دهد.
\subsection{توزیع پیشین}
توزیع پیشین توزیع احتمالی است که اطلاعات پارامتر را قبل از حصول اطلاعات نمونه‌ای بیان می‌کند. این توزیع می‌تواند به پارامترهایی بستگی داشته باشد که آن‌ها را ابرپارامترها\LTRfootnote{Hyper Parameters} می‌گویند. توزیع پیشین عموماً با توجه به‌وجود یا عدم وجود اطلاعات قبلی در مورد پارامترهای مدل انتخاب می‌شود. توزیع‌های پیشین متداول به‌صورت زیر می‌باشند.\\
توزیع پیشینی که اطلاعات یکسانی را درباره‌ی مقادیر مختلف $\theta$ در فضای پارامتر آن در نظر بگیرد توزیع پیشین ناآگاهی بخش\LTRfootnote{Non-Informative Prior Distribution} نامیده می‌شود. توزیع‌های پیشین یکنواخت و ناسره از این نوع هستند. یک توزیع پیشین مثل $\pi(\theta)$ ناسره است اگر $\int_\Theta \pi(\theta)d\theta=\infty$ و اگر $\int_\Theta \pi(\theta)d\theta<\infty$ توزیع پیشین سره نامیده می‌شود.
هنگامی‌که از ترکیب توزیع پیشین با تابع درستنمایی توزیع پسینی حاصل می‌شود که متعلق به‌همان خانواده توزیع پیشین باشد به آن توزیع پیشین مزدوج\LTRfootnote{Conjugate Prior Distribution} گوییم.
\subsection{پیشین‌های ناآگاهی‌بخش}
توزیع احتمال پیشین یک پارامتر نامشخص یا متغیر پنهان، یک توزیع احتمالاتی است که میزان عدم قطعیت یک فرد را در مورد آن پارامتر یا متغیر پنهان قبل از مشاهدۀ داده نشان می‌دهد.\\
توزیع‌های پیشین که در ذیل به‌طور خلاصه شرح داده می‌شود در دستۀ پیشین‌های ناآگاهی بخش قرار می‌گیرند. با این حال توزیع پیشین به‌طور کامل ناآگاهی بخش  وجود ندارد \cite{irony} و تمام پیشین‌ها به طریقی آگاهی‌بخش هستند. از جمله توزیع‌های ناآگاهی‌بخش توزیع پیشین تخت\LTRfootnote{Flat Prior Distribution} توزیع پیشین جفریز\LTRfootnote{Jeffreys Prior Distribution} و توزیع پیشین مبهم\LTRfootnote{Vague Prior Distribution} می‌باشد.\\
\textbf{توزیع پیشین تخت}: نخستین توزیع‌های پیشین ناآگاهی بخش معرفی شده در رهیافت بیزی توزیع‌های پیشین تخت است. به عنوان مثال، توزیع‌های یکنواخت بی‌کران $\theta \sim U(-\infty ,+\infty)$ اغلب پیشین تخت نامیده می‌شود، که در آن $\theta$ به‌طور یکنواخت از منفی بینهایت تا مثبت بینهایت توزیع شده است.\\
\textbf{توزیع پیشین جفریز}: پیشین جفریز معمولاً قانون جفریز نامیده می‌شود و به عنوان تلاشی برای ایجاد پیشین حداقل آگاهی‌بخش معرفی می‌شود که نسبت به تبدیلات ثابت است \cite{Jeffreys}. پیشین جفریز در شرایط یک پارامتری بسیار کاربردی است توزیع جفریز یک احتمال پیشین است که متناسب با ریشه دوم دترمینان اطلاع فیشر\LTRfootnote{Fisher Information} به‌صورت 
\begin{equation*}
p(\theta )\propto \sqrt{det I(\theta)},
\end{equation*}
می‌باشد.\\
\textbf{توزیع پیشین مبهم}: بعد از پیشین‌های مزدوج که توسط ریفا\LTRfootnote{Raiffa} \cite{Raiffa}  معرفی شده است، پیشین‌های مبهم در مدل‌سازی بیزی بیش‌ترین کاربرد را دارند و جزو پیشین‌های ناآگاهی‌بخش می‌باشد. به‌طور معمول پیشین مبهم یک  پیشین مزدوج با یک پارامتر مقایس بزرگ است. با این حال پیشین مبهم مشکلاتی را وقتی حجم نمونه کوچک باشد، ایجاد می‌کند. اکثر مشکلات با پیشین‌های مبهم و اندازه نمونه کوچک مربوط به پارامترهای مقیاس است. این مشکل می‌تواند به‌خصوص در اثرات تصادفی مدل بحرانی‌تر باشد. به عنوان مثال توزیع نرمال باواریانس بزرگ یک توزیع پیشین مبهم است.
\subsection{توزیع پسین}
از ترکیب توزیع پیشین و تابع درستنمایی $L(\bm\theta,\bm y)$ توزیعی حاصل می‌شود که به آن توزیع پسین گوییم. براساس قانون بیز توزیع پسین $\pi(\bm\theta\mid \bm y)$، متناسب با حاصل‌ضرب $\pi(\bm\theta)$ در$L(\bm\theta,\bm y)$ است یعنی:
\begin{equation*}
\pi(\bm\theta\mid \bm y)\varpropto L(\bm\theta,\bm y)\pi(\bm\theta)
\end{equation*}
فرض کنیم نمونه‌ای تصادفی از یک مدل آماری مشاهده شده باشد که توزیع احتمالی آن به پارامترهای مجهول $\bm\theta=(\theta_1,\theta_2,...,\theta_k)\in\Theta$ وابسته باشد. چنان‌چه درباره‌ی توزیع پارامترهای $\bm\theta$ عقیده یا باوری پیشین چون $\pi(\bm\theta)$ وجود داشته باشد در آن‌صورت استنباط درباره‌ی پارامترهای مجهول مدل با استفاده از توزیع مشاهدات و توزیع‌های پیشین استنباط بیزی نامیده می‌شود.\\
از دیدگاه استنباط بیزی تفاوت اساسی بین مشاهدات و پارامترهای یک مدل آماری وجود نداشته و هردوی آن‌ها به‌عنوان متغیرهای تصادفی در نظر گرفته می‌شوند. فرض کنیم $D\in R$ نمایشگر داده‌های مشاهده شده و $p(D\mid \bm\theta)$ توزیع احتمالی مشاهدات باشد که برابر با تابع درستنمایی $L(\bm\theta\mid D)$ است. برای استنباط بیزی لازم است توزیع توأم مشاهدات و پارامترها را به‌صورت زیر محاسبه نماییم.
\begin{equation*}
\pi(D,\bm\theta)=p(D\mid\bm\theta)\pi(\bm\theta)
\end{equation*}
با فرض این‌که مشاهدات $D$ را در دست داشته باشیم می‌توان به کمک قضیه بیز توزیع $\bm\theta$ به شرط $D$ را به‌دست آورد که به آن توزیع پسین $\bm\theta$ گویند.
\begin{equation*}
\pi(\bm\theta\mid D)=\dfrac{\pi(\bm\theta)P(D\mid\bm\theta)}{\int_\Theta \pi(\bm\theta)P(D\mid\bm\theta)d\bm\theta}~~,\bm\theta\in\Theta
\end{equation*}
توزیع پسین عقیده ما را درباره‌ی پارامترهای مجهول پس از مشاهده داده‌ها نشان می‌دهد. در استنباط بیزی تنها و تنها توزیع پسین پایه استنباط درباره‌ی پارامترها است. در واقع هر خلاصه‌ی آماری از $\bm\theta$ هم‌چون میانگین، واریانس، چندک‌ها و ناحیه با بالاترین چگالی پسین را می‌توان امید ریاضی تابعی از $\bm\theta$ چون $f(\bm\theta)$ در نظر گرفت که برای محاسبه آن ناچار به‌محاسبه انتگرال زیر هستیم.
\begin{eqnarray*}
E[f(\bm\theta)\mid D]=\int_\Theta f(\bm\theta) \pi(\bm\theta\mid D)d\bm\theta
\end{eqnarray*}
محاسبه انتگرال فوق تا این اواخر یکی از عمده‌ترین مشکلات استنباط بیزی بوده است. در بسیاری از کاربردها، به‌خصوص در مواقعی که بعد $\bm\theta$ زیاد باشد ارزیابی تحلیل $E[f(\bm\theta)\mid D]$ امکان‌پذیر نیست و برای محاسبه آن ناچار به استفاده از روش $MCMC$ خواهیم بود.
\subsection{محاسبات بیزی}
به‌طور خلاصه، استنباط بیزی، تحت نظر توزیع‌های پسین و یا پیشگو محاسبه می‌شوند.\\
که تحت نظر توزیع پسین به‌صورت
\begin{equation*}
p(\bm\theta\mid \bm y)=\dfrac{p(\bm y\mid\bm\theta)p(\bm\theta)}{\int p(\bm y\mid\bm\theta)p(\bm\theta)d\bm\theta},
\end{equation*}
است و تحت نظر توزیع پیشگو:
\begin{equation*}
p(y^*\mid \bm y)=\int p(y^*\mid\bm\theta)p(\bm\theta\mid\bm y)d\bm\theta.
\end{equation*}

از این‌رو ظهور روش‌های مبتنی بر شبیه‌سازی به‌ویژه $MCMC$، در محاسبات بیزی از توسعه باورنکردنی برخوردار بوده است. روش‌های $MCMC$، عمومی هستند و می‌تواند برای هر مدلی موثر و کاربردی باشد.\\
\section{ روش‌های مونت کارلوی زنجیر مارکوفی}
مونت کارلو نام محلی است که در آن بازی‌های شانسی انجام می‌شود. ساده‌ترین ابزار بازی‌ها چرخ رولت است که شامل توپی کوچک در محفظه‌ای است که روی چرخی گردان به دور محور خود قرار دارد. چرخ پس از مدتی متوقف شده و به تصادف عددی از محفظه خارج می‌شود. از این‌رو دستگاه ذکر شده ساده‌ترین و قدیمی‌ترین روش تولید اعداد تصادفی بوده است. روش مونت کارلو شکل ویژه‌ای از انتگرال‌گیری عددی است، که از اعداد تصادفی برای انتگرال‌گیری استفاده می‌کند. فرض کنید مقدار انتگرال $ I = \int h(x) f(x)dx $ مورد نظر است. با داشتن نمونه $ x_1, \cdots, x_n $ از توزیع $ f(x) $، تقریب مونت‌کارلوی $ I $ به‌صورت $ \hat{I} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}h(x_i) $ محاسبه می‌شود. در حالت آرمانی، وقتی $ x_i $ ها مستقل باشند، با افزایش $ n $، دقت برآورد بیشتر می‌شود ولی همواره این امر میسر نیست و نمی‌توان نمونه‌ای مستقل از توزیع مورد نظر تولید کرد. زنجیرهای مارکوفی با توزیع مانای $ f(\cdot) $، وقتی به این توزیع همگرا شوند، نمونه‌ای وابسته از $ f(x) $ تولید می‌کنند. روش‌های $  MCMC $ به تولید زنجیر مارکوفی مانند $ \cdots, X_1, X_{0} $ می‌پردازند که توزیع $ X_n $ به شرط $ (X_{0}, \cdots, X_{n-1}) $ با توزیع $ X_n $ به شرط $ X_{n-1} $ یکسان است و این زنجیر نمونه‌ای از شبیه‌سازی تقریبی توزیع هدف به‌دست می‌دهد که با افزایش $ n $ توزیع زنجیر به توزیع هدف همگرا می‌شود. زنجیرهای تولید شده نسبت به توزیع هدف برگشت‌پذیرند (یعنی $ (X_n , X_{n+1}) $ و $ (X_{n-1} , X_{n}) $ توزیعی همانند دارند). این زنجیرها نافر و کاستنی‌اند\LTRfootnote{Irreducible Chain } (یعنی صرف‌نظر از نقطه‌ی شروع، زنجیر می‌تواند وارد هر وضعیتی شود). دارا بودن این دو خاصیت تضمین می‌کند که اگر زنجیر دارای یک توزیع حدی باشد، آن‌گاه این توزیع همان توزیع هدف خواهد بود.\\
دو روش مهم که با کمک زنجیرهاي مارکوفی از توزیع‌هاي پیچیده نمونه‌گیري می‌کند، الگوریتم متروپولیس-هستینگس و نمونه‌گیري گیبز\LTRfootnote{Gibbs Sampling}هستند که در ادامه به اختصار معرفی می‌شوند.
\subsubsection{الگوریتم نمونه‌گیری گیبز}
فرض کنید توزیع توأم $X=(X_1,...,X_k)$ شکل پیچیده یا نامعلومی داشته باشد، اما چگالی‌هاي شرطی کامل $[X_r\mid \bm X_{-r}]$ که در آن منظور از $\bm X_{-r}$ برداری است که شامل تمام عناصر $X$ است به غیر از $	X_r$ می‌باشد، به ازاي $r=1,...,k$ در دسترس باشند و علاقه‌مند به چگالی توأم $f(x_1,...,x_k)$ یا کناري‌هاي $f(x_j)$ هستیم. براي این منظور از روش نمونه‌گیري گیبز به‌صورت زیر استفاده می‌شود.\\
با در نظر گرفتن مقادیر اولیه دلخواه $x^{(0)}=(x_1^{(0)},...,x_k^{(0)})$ و قرار دادن $i=0$، براي تولید $x^{(i+1)}$ گام‌هاي زیر انجام می‌شود:\\
الف- مقدار $x_1^{(i+1)}$ از توزیع $f(x_1\mid x_2^{(i)},...,x_k^{(i)})$ را تولید کنید.\\
ب- مقدار  $x_2^{(i+1)}$از توزیع  $f(x_2\mid x_1^{(i+1)},x_3^{(i)},...,x_k^{(i)})$ تولید کنید.\\
\vdots\\
$k$-مقدار $x_k^{(i+1)}$ از توزیع $f(x_k\mid x_1^{(i+1)},...,x_{k-1}^{(i+1)})$ تولید کنید.\\
ج- با قرار دادن $i=i+1$ و تکرار گام‌هاي $k$ گانه بالا نمونه  $x^{(0)},x^{(1)},...$ تولید می‌شود.\\
وقتی $i\rightarrow\infty$، توزیع حدي $X^{(i)}$، همان $f(x)$ خواهد بود، یعنی براي$i$هاي بزرگ $x^{(i)}$  یک مشاهده تصادفی از توزیع $f(x)$ است. دنباله $x^{(0)},x^{(1)},...$ تحققی از یک زنجیر مارکوفی است. زیرا توزیع احتمال $x^{(i+1)}$ وابسته به $x^{(i)}$ است ولی براي $x^{(i)}$ داده شده به $x^{(0)},...,x^{(i-1)}$ بستگی ندارد.\\
به‌همین دلیل نمونه‌گیري گیبز یک روش $MCMC$ است.
\subsubsection{الگوریتم متروپولیس-هستینگس}
فرض کنید $X$ داراي تابع چگالی پیچیده $f(x)$ باشد که به‌طور مستقیم نمونه‌گیري از آن سخت یا امکان‌ناپذیر است. براي نمونه‌گیري از تابع هدف $f(x)$ به‌صورت زیر عمل می‌شود.\\
چگالی نامزد\LTRfootnote{Proposal or Candidate Density} $q(y\mid x)$ چنان انتخاب می‌شود که تکیه‌گاه آن با تکیه‌گاه $f(x)$ یکسان، دم‌هاي آن از دم‌هاي $f(x)$ کلفت‌تر و نمونه‌گیري از آن آسان باشد. سپس با در نظر گرفتن مقدار اولیه دلخواه $x_0$ و قرار دادن $i=0$، براي تولید $x_{i+1}$ گام‌هاي زیر طی می‌شود.\\
الف- مقدار $y$ را از توزیع نامزد $q(y\mid x_i)$ تولید کنید.\\
ب- نرخ پذیرش را محاسبه کنید.
\begin{eqnarray}
r_i=r(x_i,y)=min\lbrace 1,\dfrac{f(y)q(x_i\mid y)}{f(x_i)q(y\mid x_i)}\rbrace
\end{eqnarray}
ج- مقدار جدید $x$ را به صورت زیر تعیین کنید:
\begin{equation*}
x_{i+1} = \left\{
\begin{array}{rl}
y & r_i \text{با احتمال} \\
x_i & 1- r_i\text{با احتمال} \\
\end{array} \right.
\end{equation*}
براي اجراي گام سوم مقدار $u$ از توزیع یکنواخت $U(0,1)$ تولید شود، آن گاه
\begin{equation*}
x_{i+1} = \left\{
\begin{array}{rl}
y & u < r_i \text{اگر} \\
x_i & u \geqslant r_i \text{اگر} \\
\end{array} \right.
\end{equation*}
د- با قرار دادن $i=i+1$ و تکرار گام هاي سه گانه فوق، مقادیر $x_0, x_1, ...$ یک زنجیر مارکوفی خواهد بود که توزیع ماناي آن همان توزیع هدف $f(x)$ است.\\
کارایی الگوریتم متروپولیس-هستینگس وابسته به تولید نمونه از تابع چگالی نامزد $q(y\mid x)$ است. از این رو نمونه خوب وقتی حاصل می‌شود که تابع چگالی نامزد یک تقریب مناسب براي چگالی هدف، یعنی  $f(x)$ باشد. یک انتخاب عمومی براي $q(y\mid x)$ توزیع $N(x,b^2)$ با $b>0$ است. یعنی مقدار نامزد از یک توزیع نرمال که مرکز آن مقدار جاري $x$ است، تولید می‌شود. در این حالت، توزیع نامزد $q$ متقارن است، یعنی $q(y\mid x)=q(x\mid y)$ و مقدار $r_i$ به‌صورت $r_i=min\lbrace 1, \dfrac{f(y)}{f(x_i)}\rbrace$ ساده می شود. براي اجراي شبیه سازي باید مقداري مناسب براي $b$ انتخاب شود. وقتی $b$ کوچک باشد
الگوریتم پرش‌هاي کوچکی خواهد داشت و احتمال پذیرش تقریبا یک خواهد بود. در نتیجه زنجیر مقدار زیادي از فضاي نمونه را نمی‌پیماید. بنابراین بافت نگار نمونه تولید شده به خوبی توزیع هدف را تقریب نمی‌زند. برعکس اگر $b$ خیلی بزرگ باشد، دراین صورت الگوریتم مدام مقدار دور واقع در دم توزیع نامزد را پیشنهاد می کند که موجب کوچک شدن احتمال پذیرش و در نتیجه رد شدن مقدار پیشنهادي و نگه داشتن زنجیر در مقدار جاري می شود. نتیجه این است که زنجیر در یک مقدار ثابت باقی می‌ماند. دراین حالت نیز بافت نگار نمونه تولید شده به خوبی توزیع هدف را تقریب نمی‌زند. بنابراین انتخاب مقداري مناسب براي $b$ مساله‌اي مهم است. اگر توزیع نمونه تولید شده از زنجیر مارکوفی به سرعت مشابه با توزیع هدف شود، گوییم زنجیر خوش آمیزنده\LTRfootnote{Mixing Well} است.\\
اگر $X$ متغیري $k$ بعدي باشد، با انتخاب توزیع نامزد $k$ متغیره $q(y\mid x)$ می‌توان نمونه‌اي $k$ متغیره تولید کرد. کارایی یک الگوریتم به طور معمول با نرخ پذیرش، یعنی نسبتی از مقادیر پیشنهادي زنجیر که مورد پذیرش قرار می گیرند، ارزیابی می‌شود. رابرتز\LTRfootnote{Roberts} و روزنتال\LTRfootnote{Rosenthal}
\cite{Roberts}
نشان دادند نرخ پذیرش الگوریتم متروپولیس-هستینگس به‌طور تقریبی برابر $0.234$ است. بنابراین واریانس توزیع نامزد به‌گونه‌اي انتخاب می‌شود که الگوریتم این نرخ پذیرش را داشته باشد. 
\subsection{همگرایی در الگوریتم $MCMC$}
برای ارزیابی همگرایی معمولاً از معیار همگرایی گلمن\LTRfootnote{GELMAN} و روبین\LTRfootnote{RUBIN} 
\cite{GELMAN and RUBIN}
به‌صورت 
\begin{equation*}
\widehat{R}=\sqrt{\dfrac{(d+3)\widehat{V}}{(d+1)W}}
\end{equation*}
استفاده می‌شود، که در آن $W$ متوسط واریانس تجربی درون هر زنجیر است و $\widehat{\delta^2}=\dfrac{(n-1)B}{n}+\dfrac{W}{n}$ و $d=\dfrac{2\widehat{V}}{Var(\widehat{V)}}$ و $\widehat{V}=\widehat{\delta^2}+\dfrac{B}{mn}$ می‌باشند و $B$ واریانس تجربی بین زنجیر است، $m$ و $n$ به‌ترتیب تعداد و طول زنجیر است. مقادیر خیلی بزرگتر از $1$ معیار $R$ نشان‌دهنده عدم همگرایی است.
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.7]{fig80.png}
\caption{نمونه‌های تولید شده از 10 تکرار اول الگوریتم $MCMC$ به همراه نمودار تراز توزیع هدف \label{fig1-6}}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.7]{fig81.png}
\caption{نمونه‌های تولید شده از 30 تکرار اول و الگوریتم $MCMC$ به همراه نمودار تراز توزیع هدف \label{fig1-7}}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.7]{fig82.png}
\caption{نمونه‌های تولید شده از 1000 اجرای الگوریتم $MCMC$ \label{fig1-8}}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[scale=.7]{fig83.png}
\caption{دو زنجیر از نمونه‌های تولید شده از روش $MCMC$ با دو مقدار اولیه متفاوت \label{fig1-9}}
\end{center}
\end{figure}
%\begin{figure}
%\begin{center}
%\includegraphics[scale=.75]{fig84.png}
%\caption{نمونه‌های تولید شده از 30 تکرار اول و الگوریتم $MCMC$ به همراه نمودار تراز توزیع هدف \label{fig1-7}}.
%\end{center}
%\end{figure}
\subsection{مثالی از نحوه اجرا و همگرایی $MCMC$}
در این بخش با استفاده از شکل‌هایی نحوه تولید نمونه به روش $MCMC$ و همگرایی آن برای یک مسئله دو پارامتری نشان داده شده است. در شکل \ref{fig1-6}، نمودار تولید شده از 10 تکرار اول الگوریتم $MCMC$ با شماره‌های 1 الی 10 به همراه نمودار تراز توزیع هدف رسم شده‌اند که نشان می‌دهد نمونه‌ها چگونه حول توزیع هدف رسم شده‌اند و بیان‌گر نحوه حرکت نمونه‌ها حول توزیع هدف می‌باشد. سپس در شکل \ref{fig1-7}، 30 تکرار از اجرای الگوریتم به نمایش گذاشته شده است که نشان می‌دهد نمونه‌ها حول توزیع هدف با افزایش تکرار متمرکزتر می‌شوند. در نهایت در شکل \ref{fig1-8}، 1000 نمونه تولید شده از اجرای الگوریتم ارائه شده است. ملاحظه می‌شود که با افزایش تکرارها، نمونه‌ها توزیع هدف را کاملاً پوشش می‌دهند. به‌علاوه در شکل \ref{fig1-9}، دو اجرا از الگوریتم $MCMC$ با مقادیر شروع متفاوت را نشان می‌دهد که بعد از حدود 200 تکرار دو زنجیر به‌هم می‌رسند، در واقع همگرا می‌گردند و نمونه‌های قبل از آن‌را به‌عنوان مقادیر سوخته کنار گذاشته می‌شوند و بقیه نمونه‌ها به‌عنوان نمونه‌های تولید شده از توزیع هدف مورد استفاده قرار می‌گیرند.
\section{معیار اطلاع انحراف}
معیار اطلاع انحراف\LTRfootnote{Deviance Information Criterion} (\lr{DIC}) منحصراً در مسئله انتخاب مدل‌هاي بیزي که در آن توزیع پیشین مدل‌ها به‌وسیله شبیه‌سازي $MCMC$ به‌دست آمده‌اند، بسیار مفید است.\\
انحراف به صورت
\begin{eqnarray*}
D(K)= -2\log(p(y\mid K)) + C
\end{eqnarray*}
تعریف می‌شود، که در آن $y$ مشاهدات می‌باشد و $k$ پارامترهاي نامعلوم مدل هستند و $p(y\mid K)$ تابع
درستنمایی است. $C$ ثابتی است که در تمام محاسبات مربوط به مقایسه مدل‌هاي مختلف حذف شده است و در نتیجه نیازي نیست که معلوم باشد.\\
مقدار مورد انتظار  $\overline{D}=E^K[D(K)]$یک معیار براي خوب بودن برازش مدل به داده‌ها می‌باشد.\\
بزرگ‌تر بودن این معیار نشانه خوب نبودن برازش است.\\
دو محاسبه متداول براي تعیین تعداد پارامترهاي موثر در مدل وجود دارد. اولین مورد توسط اسپیگلهتر\LTRfootnote{Spiegelhalter}
\cite{Spiegelhalter}
به‌صورت $p_D=\overline{D}-D(\overline{K})$ تعریف می‌شود که $\overline{K}$ امید ریاضی $K$ است. دومین مورد هم توسط گلمن\LTRfootnote{Gelman}
\cite{GELMAN}
بیان شده و برابر با $p_D=p_V=\dfrac{1}{2}\widehat{var}(D(K))$ است.\\
معیار اطلاع انحراف به‌صورت $DIC=p_D+\overline{D}$، یا به‌‌طور معادل به‌‌صورت
\begin{eqnarray}\label{e1}
DIC=D(\overline{K})+2p_D,
\end{eqnarray}
تعریف می‌شود. با توجه به (\ref{e1})، ارتباط بین این معیار با معیار اطلاع آکائیک آشکار می‌‌شود.\\
نکته این است که مدل با $DIC$ کوچک‌تر باید به مدل با$DIC$ بزرگ‌‌تر ترجیح داده شود. مزیت $DIC$ بیش از معیارهاي دیگر در مورد انتخاب مدل بیزي است زیرا این معیار به‌‌‌راحتی از نمونه‌‌هاي تولید شده به‌‌وسیله روش‌های $MCMC$ محاسبه می‌‌شود.
\section{نماد $O$ بزرگ}
نماد $O$ بزرگ\LTRfootnote{Big-O Notation}، معمولاً نماد لاندو\LTRfootnote{Landau's Symbol} نامیده می‌شود، نمادی است که در تئوری پیچیده ریاضیات برای تشریح رفتار تقریبی توابع استفاده می‌شود. در واقع سرعت رشد یا کاهش یک تابع را بازگو می‌کند.\\
نماد لاندو از اسم تئوریسین آلمانی ادموند لاندو که این نماد را معرفی کرد، آمده است. دلیل این‌که در این نماد از حرف $O$ استفاده می‌شود زیرا نرخ رشد یک تابع معمولاً مرتبۀ\LTRfootnote{Order} آن نامیده می‌شود. به عنوان مثال هنگام تحلیل برخی الگوریتم‌ها فردی ممکن است دریابد زمانی که طول می‌کشد تا یک مسئله با اندازه نمونه $n$ کامل شود برابر  $T(n)=4n^2-2n+2$ است. اگر مقادیر ثابت و بخش‌هایی با رشد کمتر نادیده گرفته شود، می‌توان گفت نرخ رشد $T(n)$ از مرتبه $n^2$ است و به‌صورت $T(n)=O(n^2)$ نوشته می‌شود.\\
فرض کنید $f(x)$ و $g(x)$ دو تابع تعریف شده بر زیرمجموعه‌ای از اعداد حقیقی باشند. در این صورت $f(x)=O(g(x))$ اگر و تنها اگر ثابت‌های $N$ و $C$ وجود داشته باشد به‌طوری که 
\begin{eqnarray}\label{eeee}
\mid f(x)\mid \leq C\mid g(x)\mid ~~~~x>N
\end{eqnarray}
یعنی رشد $f$ سریع‌تر از $g$ نمی‌باشد. درواقع  $O(g(x))$ مجموعۀ تمام توابعی است که شرط (\ref{eeee}) برای آن‌ها برقرار باشد.