\section{تقریب $\pi(x_i|\bm{\eta}, \bm{y})$  }
بحث ما تقریب $ \pi(x_i|\bm{y} , \eta_k) $ به سه روش تقریب گاوسی، لاپلاس و لاپلاس ساده است. اگر چه به‌طور کلی تقریب لاپلاس ترجیح داده می‌شود اما هزینه بسیار کمتر لاپلاس ساده موجب می‌شود تا با از دست دادن اندکی وقت از آن استفاده کنند. 
\subsection{استفاده از تقریب گاوسی}
ساده‌ترین و ارزان‌ترین تقریب $ \pi(x_i|\bm{\eta}, \bm{y}) $ تقریب گاوسی است. $ \hat{\pi}_G(x_i|\bm{\eta}, \bm{y}) $ که دارای میانگین $ \mu_i(\bm{\eta}) $ و واریانس حاشیه‌ای $ \sigma_{i}^{2}(\bm{\eta}) $  است. از مشتق‌های بازگشتی استفاده می‌کند و ممکن است محدودیت‌های خطی را اصلاح کند. 

در طول بررسی$ \hat{\pi}(\bm{\eta} | \bm{y}) $،  $ \hat{\pi}_G(x_i|\bm{\eta}, \bm{y}) $ محاسبه می‌شود. بنابراین فقط به محاسبه واریانس حاشیه‌ای نیاز است. تقریب گاوسی اغلب نتایج معقولی دارد اما ممکن است خطاهایی موجود در محل یا خطاهایی مربوط به عدم چولگی داشته باشد.(رویی و مارتینو (2007))
\subsection{استفاده از تقریب لاپلاس}
راه طبیعی برای بهبود تقریب گاوسی محاسبه تقریب لاپلاس 
\begin{equation}
\hat{\pi}_{LA}(x_i|\bm{\eta},\bm{y}) \propto \frac{\pi(\bm{x}, \bm{\eta}, \bm{y})}{\hat{\pi}_{GG}(x_{-i}|x_{i}, \bm{\eta}, \bm{y})}|_{x_{-i} = x_{-i}^{*}(x_i,\bm{\eta})}
\end{equation}
که در این‌جا $ \hat{\pi}_{GG} $  تقریب گاوسی برای $(x_{-i}|x_{i}, \bm{\eta}, \bm{y})$ و
 $  x_{-i}^{*}(x_i, \bm{\eta})  $ با تنظیمات معین است. توجه کنید که $ \hat{\pi}_{GG} $  متفاوت از چگالی شرطی $ \hat{\pi}_G(\bm{x}|\bm{\eta}, \bm{y}) $ است. متاسفانه   نشان می‌دهد که $ \hat{\pi}_{GG} $  برای هر مقدار $ x_i $ و $ \bm{\eta} $، به دلیل این‌که ماتریس دقت به $ i $ و $ \eta $ بستگی دارد، باید مجددا محاسبه شود. این مورد خیلی گران است و نیاز به فاکتور سازی $ n $ ماتریس با دقت کامل دارد. 
 پیشنهاد ما این است که تغییری در فرمول تقریب لاپلاس انجام دهیم که از نظر محاسباتی امکان‌پذیر باشد. اولین تغییر اجتناب از گام بهینه سازی در محاسبات $ \hat{\pi}_{GG}(x_{-i}|x_{i}, \bm{\eta}, \bm{y}) $ به‌وسیله تقریب تنظیمات معین است.  \begin{equation}
  x_{-i}^{*}(x_i,\bm{\eta}) \approx E_{\hat{\pi}_{G}}( x_{-i}| x_i).
 \end{equation}
سمت راست چگالی شرطی به‌دست آمده از تقریب گاوسی $ \hat{\pi}_{G}( \bm{x} | \bm{\eta}, \bm{y} $ مورد بررسی قرار خواهد گرفت. سود محاسباتی سریع است و میانگین شرطی را می‌توان با به‌روزرسانی میانگین بدون قید و شرط محاسبه کرد. در موارد فضایی هزینه برای هر $ i $، $ O(nlogn) $ می‌باشد، که با استفاده از جواب $ Q_v = 1_i $ به‌دست می‌آید که در آن $ 1_i $ معادل موقعیت $ i $ می‌باشد. این رتبه به‌روز رسانی تنها یک‌بار برای هر $ i $ محاسبه می‌شود و به‌عنوان خطی در $ x_i $ است اگرچه ساختار آن کمی متفاوت است. هسیاو و همکاران (2004) نشان دادند که انحراف از حالت شرطی لزوما تنزل خطای تقریب را ندارد. یکی دیگر از ویژگی‌های مثبت استفاده از (3.3) حالت شرطی پایدار با توجه به $ x_i $ است. این یکی از ویژگی‌هایی است که در عمل بهینه‌سازی عددی را برای محاسبه $  x_{-i}^{*}(x_i,\bm{\eta}) $ نگه نمی‌دارد. 
تغییر بعدی تحقق بینش زیر است:
تنها $ x_j $ هایی که نزدیک به $ x_i $ هستند باید بر حاشیه‌ی $ x_i $ تاثیر  داشته باشند. شکل 2 این ایده را نشان می‌دهد. نمودار $ x $ به‌وسیله دایره بزرگتر نمایش داده شده است و گره $ i $ با یک نقطه سیاه مشخص شده است. اگر وابستگی بین $ x_i $ و $ x_j $ از بین برود فاصله بین آن‌ها زیاد می‌شود. تنها $ x_j $ هایی در منطقه خاکستری مورد توجه‌اند که در حاشیه‌ی $ x_i $ باشند. امید شرطی در (3.3) نشان می‌دهد که 
\begin{equation}
\frac{E_{\hat{\pi}_G}(x_j|x_i) - \mu_{j} (\eta)}{\sigma_{j} (\eta)} = a_{ij}(\eta) \frac{x_i - \mu_{i}(\eta)}{\sigma_{i}(\eta)}.
\end{equation}
برای $ a_{ij}(\eta) $ که $ i \neq j  $.
ازاین‌رو یک قاعده ساده برای ساختن مجموعه‌ی $ R_i(\eta) $ این است: 
\begin{equation}
R_i(\eta) = \lbrace j : \vert a_{ij}(\theta) \vert > 0.001 \rbrace
\end{equation} 
و مهم‌ترین محاسبات آن از محاسبه $ \hat{\pi}_{GG}(x_{-i}|x_{i}, \bm{\eta}, \bm{y}) $  به‌دست می‌آید. اکنون فقط به عامل‌های ماتریس پراکنده $ \vert R_i(\eta) \vert \times \vert R_i(\eta) \vert $ نیاز داریم.

عبارت (2.3) همانطور که توضیح داده شد ساده است و برای پیدا کردن مقادیر مختلف $ x_i $ تابع چگالی را پیدا می‌کنیم. برای پیدا کردن این نقاط از میانگین و واریانس تقریب گاوسی استفاده می‌کنیم و مقادیر مختلف برای متغیرهای استاندارد شده 
\begin{equation}
x_i^{s} = \frac{x_i - \mu_i(\eta)}{\sigma_i(\eta)}
\end{equation}
توسط قاعده مربع گاوس-هرمیت، انتخاب می‌کنیم. برای نشان دادن چگالی  $ \hat{\pi}_{LA}(x_i|\bm{\theta},\bm{y}) $ از
\begin{equation}
\hat{\pi}_{LA}(x_i|\bm{\theta},\bm{y}) \propto N\lbrace x_i ; \mu_i(\bm{\eta}), \sigma_i^{2}(\bm{\eta})    \rbrace \times \exp \lbrace cubic spline (x_i) \rbrace
\end{equation}
$ cubic spline $    
یک برازش متفاوت از لگاریتم چگالی  $ \hat{\pi}_{LA}(x_i|\bm{\eta},\bm{y}) $ و $ \hat{\pi}_G(x_i|\bm{\eta}, \bm{y}) $ است که به‌وسیله تعیین طول نقاط انتخاب می‌شود و پس از آن چگالی با جمع بستن مربع نرمال شده به‌دست می‌آید. 
\subsection{استفاده از تقریب لاپلاس ساده}
در این بخش به‌وسیله انجام کارهایی روی $ \hat{\pi}_{LA}(x_i|\bm{\eta},\bm{y})  $، با $ x_i = \mu_i (\eta) $ به انجام تقریب لاپلاس ساده $ \hat{\pi}_{SLA}(x_i|\bm{\theta},\bm{y})  $ می‌پردازیم. این به‌ما اجازه می‌دهد که به اصلاح تقریب گاوسی در موقعیت‌های دارای چولگی بپردازیم. در بسیاری از مدل‌های مشاهده شده شامل پواسون و باینومیال این اصلاحات برای به‌دست آوردن چگالی حاشیه‌ای پسین کافی است. سود صرفا محاسباتی است. در شرایط نرمال می‌توانیم برای همه‌ی $ i $ ها همه‌ی $ n $ چگالی حاشیه‌ای کناری را محاسبه کنیم فقط با زمان $ O(n^{2}\log n) $. تعریف می‌کنیم:
\begin{equation}
d_j^{(3)} (x_i, \eta) = \frac{\partial^{3}}{\partial x_j^{3}} 
\log\pi (y_j|x_j , \eta)|_{x_j = E_{\hat{\pi}_G}(x_j|x_i)}
\end{equation}
که فرض می‌کنیم وجود دارد. لم زیر می‌تواند مفید باشد:
$ \bm{lemma 1} $

فرض کنید $ x = (x_1,x_2,...,x_n)^{T} \thicksim N(\bm{0}, \bm{\Sigma}) $، آن‌گاه برای همه‌ی $ x_1 $ ها 
\begin{equation}
-\frac{1}{2} (x_1 , E(x_{-1}|x_1)^T) \Sigma^{-1} = -\frac{1}{2} x_1^2 / \Sigma_{11}
\end{equation}
صورت و مخرج (2.3) را در اطراف  $x_i = \mu_i(\eta) $ با استفاده از (4.3) و لم 1 گسترش می‌دهیم. 
\begin{equation}
log \pi (\bm{x},\bm{\eta}, \bm{y})|_{x_{-i} = E_{\hat{\pi}_G}}(x_{-i}|x_i) -\frac{1}{2} (x_i^{(s)})^{2} + \frac{1}{6}(x_i^(s))^3 \sum_{j \in I/i} d_j^3(\mu_i(\bm{\eta}),\bm{\eta}) \lbrace \sigma_j(\eta) a_{ij}(\bm{\eta}) \rbrace ^3 + \cdots
\end{equation}
جمله دوم و سوم تقریب گاوسی است در صورتی که جمله سومی حالتی را فراهم می‌کند که چولگی از بین برود.