\chapter{ تحلیل بیزی معمولی داده‌های بقا} 
\section{مقدمه}
معمولاً در مطالعات بقا، حادثه مورد نظر مرگ می‌باشد. در این مطالعات عده‌ای را برای مدتی تحت مراقبت و پیگیری قرار می‌دهند تا تعدادی مرگ به‌دلیل خاصی که مد نظر و بررسی مطالعه است مشاهده گردد.\\
بدیهی است که عوامل دیگری چون متغیرهای جمعیتی نظیر سن و جنس بیمار، متغیرهای روحی و روانی، عوامل جسمانی و فیزیکی خصوصاً وضعیت قلبی، متغیرهای محیطی و سابقه سیگاری بودن و عادات غذایی بر حادثه مشخص فوق تأثیر دارند. از طرف دیگر بعضی از بیماری‌ها، علل مستقیم‌تری دارند که می‌توانند زمان بقا را  قویاً تحت تأثیر خود قرار دهند. مثلاً در مطالعه بیماران سرطانی، سن بیمار، اندازه غده و نحوه درمان و ... تأثیر مستقیم بر روند وقوع مرگ دارند. بنابراین برای ضرورت مدل‌سازی داده‌های بقا می‌توان دو دلیل عمده زیر را بیان کرد:\\
1) مدل‌سازی، ترکیب متغیرهای موثر بر تابع خطر را مشخص می‌نماید.\\
2) برآورد تابع خطر برای هر فرد مشخصی و در هر لحظه زمانی را می‌توان با مدل‌سازی مناسب به‌دست آورد.
\section{مدل‌سازی زمان‌های بقا}

مدلی که معمولا برای تحلیل داده‌‌های بقا به‌کار برده می‌شود، رگرسیون کاکس می‌باشد که به‌عنوان مدل خطرات متناسب نیز شناخته شده است. مدل کاکس یک مدل نیمه پارامتری برای تحلیل داده‌های سانسور شده بقا است. در این مدل همواره فرض می‌شود که اثر متغیرهای کمکی روی لگاریتم تابع خطر، تابعی خطی از متغیرهای کمکی است و برای تابع خطر توزیع خاصی فرض نمی‌شود و تابع خطر پایه را به عنوان تابعی نامشخص ولی غیر منفی از زمان در نظر می‌گیرد و از روی داده‌ها برآورد می‌گردد.\\
در عمل گاهی با مواردی مواجه می‌شویم که علاوه بر متغیرهای کمکی با اثرات خطی، برخی متغیرهای کمکی اثرات غیر خطی بر روی مدل دارند. در این فصل یک مدل مفید برای مطالعه داده‌های بقا در حضور انواع متغیر کمکی با اثرات خطی و غیر خطی و وابستگی‌ها بیان می‌شود و سپس تحلیل بیزی مدل ارائه می‌گردد.
\section{مدل خطرات متناسب یا کاکس}
در سال 1972میلادی کاکس، آمارشناس معروف و معاصر انگلیسی مدلی را ارائه نمود که از آن زمان تاکنون به‌صورت استاندارد و گسترده‌ای مورد استفاده قرار می‌گیرد. وقتی که تحقیق بررسی اثرات چند متغیر بر روی زمان بقا به طور هم‌زمان مد نظر باشد مدل کاکس کاربرد فراوانی دارد.\\
مدل کاکس، مدل خطرات متناسب نیز نام گرفته است. هرچند که این نام از آن جهت که مدل وی می‌تواند برای خطرات غیرمتناسب به کاربرده شود گمراه ‌کننده و تا حدودی نامناسب است.\\
به‌منظور سهولت هر چه بیشتر، مدل خطرات متناسب کاکس را برای حالتی تفسیر می‌کنیم که خطرات غیرمتناسب و یا متغیرهای غیر توجیهی مرتبط با زمان در مدل وجود نداشته باشد. بنابراین اگر $k$ متغیرمستقل  $X_1,X_2,X_3,...,X_k$ داشته باشیم، تابع خطر در زمان $t$ به‌صورت زیر تعریف می‌شود
\begin{equation*}
h_i(t)=h_0(t)\exp\lbrace\beta_1 X_{i1}+\beta_2 X_{i2}+...+\beta_k X_{ik}\rbrace
\end{equation*}
در این مدل چنین فرض می‌شود که خطر برای فرد $i$ام در لحظه زمانی $T$ دارای دو مولفه زیر است:\\
1) خطر پایه یا مبنا که با $h_0(t)$ نشان داده می‌شود و چیز خاصی به‌جز غیرمنفی بودن آن ‌را نمی‌توان برای آن مشخص کرد. مقدار عددی تابع خطر پایه از روی داده‌های نمونه‌ای برآورد می‌شود.\\
2) ترکیب خطی از مجموعه $k$ متغیر مستقل یعنی $\lbrace\beta_1X_{i1}+\beta_2X_{i2}+...+\beta_kX_{ik}\rbrace$ که ضرایب این $k$ متغیر نیز از روی داده‌های نمونه‌ای باید برآورد شود. این برآوردها با $b_1,b_2,...,b_k$ نشان داده می‌شود. چنان‌چه در ترکیب خطی مذکور، همه متغیرها برای یک فرد مشخص مقدار صفر را اختیار کنند آن‌گاه مقدار $e^0=1$ ودر نتیجه تابع $h_0(t)$  به‌عنوان تابع خطر آن فرد منظور می‌گردد. \\
با لگاریتم گرفتن  دو طرف مدل کاکس 
\begin{equation*}
\log[h_i(t)]=\log[h_0(t)]+\beta_1 X_{i1}+\beta_2 X_{i2}+...+\beta_k X_{ik}
\end{equation*}
می‌شود و با فرض $\log[h_0(t)]=\alpha(t)$  
\begin{equation*}
\log[h_i(t)]=\alpha(t)+\beta_1 X_{i1}+\beta_2 X_{i2}+...+\beta_k X_{ik}
\end{equation*}
است، حال اگر $\alpha(t)$ مساوی با $\alpha$ باشد آن‌گاه مدل کاکس به مدل نمایی به‌صورت
\begin{equation*}
\log[h_i(t)]=\alpha+\beta_1 X_{i1}+\beta_2 X_{i2}+...+\beta_k X_{ik}
\end{equation*}
می‌شود. اگر $\alpha(t)=\alpha t$ آن‌گاه مدل کاکس مدل گومپرتز به‌صورت
\begin{equation*}
\log[h_i(t)]=\alpha t+\beta_1 X_{i1}+\beta_2 X_{i2}+...+\beta_k X_{ik}
\end{equation*}
است. اگر $\alpha(t)=\alpha\log(t)$ باشد آ‌ن‌گاه مدل کاکس به مدل وایبل
\begin{equation*}
\log[h_i(t)]=\alpha\log(t)+\beta_1 X_{i1}+\beta_2 X_{i2}+...+\beta_k X_{ik}
\end{equation*}
تبدیل خواهد شد.\\
مزیت و نقطه قوت مدل کاکس در آن است که در حضور آن مدل، هیچکدام از حالات فوق ضرورتی ندارد و $\alpha(t)$ می‌تواند هر یک از حالات فوق را اختیار کند. مدل رگرسیون خطرات متناسب کاربرد فراوانی در داده‌های بقا دارد و برآورد خطر مرگ در لحظه زمانی $t$ را می‌دهد. این مدل نام «مدل خطرات متناسب» را به خود گرفته است، زیرا خطر هر فرد یک نسبت ثابت و مشخصی را با خطر هر فرد دیگر دارد.\\ 
به‌منظور درک و فهم راحت‌تر این موضوع و با استفاده از مدل بالا، نسبت خطر در دو فرد $i$ام و $j$ام ‌به‌صورت
\begin{equation*}
\dfrac{h_i(t)}{h_j(t)}=\exp \lbrace\beta_1(X_{i1}-X_{j2})+\beta_2(X_{i2}-X_{j2})+...+\beta_k(X_{ik}-X_{jk})\rbrace
\end{equation*}
به‌دست می‌آید. چنان‌چه ملاحظه می‌شود نسبت فوق، فاقد $h_0(t)$ است، زیرا از صورت و مخرج کسر حذف گردیده است. بنابراین نسبت خطرات در همه‌ی زمان‌ها مقدار ثابتی است و اگر لگاریتم خطرات برای هر دو نفر دلخواه به‌صورت نموداری رسم شود تابع خطرات آن‌ها با هم کاملا موازی خواهد بود.\\
مدل کاکس، یک مدل نیمه پارامتری است و به توزیع خاصی برای زمان‌های بقا نیاز ندارد. اما دو فرض بسیار حساس و مهم در این مدل وجود دارد. اول این‌که اثر متغیرهای مختلف بر بقا و در طی زمان، یکنواخت و ثابت است، و دیگر این‌که این اثرات طبق قانون جمع‌پذیری به مقیاس خاصی افزوده می‌شوند. با استفاده از مدل خطرات متناسب می‌توان خطر تجمعی را نیز برآورد کرد. بدین ترتیب که خطر مرگ در فاصله زمانی $0$ تا $t$ متوالیاً به‌هم افزوده شده تا خطر متناسب تجمعی   $H(t)$ به‌دست آید.
\begin{equation*}
H_i(t)=H_0(t)\exp\lbrace\beta_1X_{i1}+\beta_2X_{i2}+...+\beta_kX_{ik}\rbrace
\end{equation*}
در این‌جا $H_0(t)$ تابع خطر تجمعی مبنا است و مانند $h_0(t)$ قابل محاسبه است و ارتباط تنگاتنگی با تابع بقا، $S(t)$ دارد از روی این مدل می‌توان احتمال بقاء برای هر فرد در مطالعه را به‌صورت $S(t)=\exp\lbrace-H(t)\rbrace$ نیز برآورد نمود.\\
علامت ضرایب رگرسیونی در مدل کاکس نخستین ویژگی قابل تأمل است. مثبت بودن این علائم بدان معناست که خطر افزایشی است و بنابراین اشخاصی با مقادیر $X$ بالاتر، نسبت به افرادی با مقادیر $X$ کمتر، در معرض خطر بیشتری خواهند بود.
برای متغیرهای پیوسته، ضریب رگرسیون مثبت به مفهوم افزایش لگارتیم خطر و ضرایب رگرسیون منفی به مفهوم کاهش لگاریتم خطر به ازای یک واحد افزایش در مقدار آن متغیر پیوسته هم‌نوسان می‌باشد.\\
به این معنا که اگر ضرایب رگرسیون برای متغیر پیوسته مثبت باشد ($+b$)، آن‌گاه یک واحد افزایش در مقدار متغیر پیوسته‌ی هم‌نوسان، معادل ($+b$) واحد افزایش در لگاریتم خطر است و یک واحد کاهش در مقدار متغیر پیوسته‌ی هم‌نوسان، معادل  $b$ واحد کاهش در لگاریتم خطر است.\\
چنان‌چه ضریب رگرسیون برای یک متغیر پیوسته منفی باشد ($-b$)، آن‌گاه یک واحد افزایش در مقدار متغیر پیوسته‌ی هم‌نوسان، به معنای $b$ واحد کاهش در لگاریتم خطر است و یک واحد کاهش در مقدار متغیر پیوسته‌ی هم‌نوسان، معادل $b$ واحد [$(-1)*(-b)=b$] افزایش در لگاریتم خطر است.\\
شاخص پیش‌گویی\LTRfootnote{Prediction Index} (\lr{PI}) در رگرسیون کاکس همانند رگرسیون‌های خطی چندگانه تعریف می‌گردد. این شاخص ترکیبی از ضرایب رگرسیون و مقدار متغیرهاست که همان قسمت داخل پرانتز مدل کاکس یعنی 
\begin{equation*}
PI=[b_1X_1+b_2X_2+...+b_kX_K]
\end{equation*}
می‌باشد.
\section{مدل‌های پارامتریک}
در مدل رگرسیونی خطرات متناسب اثر متغیرهای کمکی را بر روی تابع خطر به‌دست می‌آوریم در این حالت اگر خطر مبنا را به‌صورت پارامتری درنظر بگیریم یکی از مدل‌های نمایی، وایبل و گومپرتز به‌دست می‌آیند و اگر خطر مبنا به‌صورت نامعین در نظر گرفته شود مدل نیمه پارامتری خطرات متناسب کاکس به‌دست می‌آید.\\
یک مدل بقای پارامتری، مدلی است که در آن فرض می‌شود که زمان بقای (پیشامد) از توزیع شناخته شده‌ای تبعیت می‌کند. بیشتر پژوهشگران در زمینه پزشکی بیشتر تمایل به استفاده از مدل‌های نیمه پارامتریک چون کاکس هستند به‌دلیل این‌که این مدل‌ها به پیش فرض‌های کمتری در مقایسه با مدل‌های پارامتریک نیازمندند ولی در برخی شرایط، مدل‌های پارامتریک نسبت به کاکس نتایج بهتری دارند و برای برازش داده‌های بقا مناسب‌ترند. در صورتی‌که پیش‌فرض‌های مدل پارامتری برقرار باشند، مدل‌های پارامتری، تجزیه و تحلیل قوی‌تری و هم‌چنین توان بیشتری نسبت به روش‌های نیمه‌پارامتری دارا هستند. از مزیت‌های مدل‌های پارامتری این است که اگر مدل‌های پارامتری به درستی برازش داده شوند و برازش متناسب با داده‌ها و مناسب باشد، تخمین پارامترها دقت بیشتری دارد و علت این موضوع این است که تخمین‌ها، براساس پارامترهای کمتر و به‌عبارت دیگر مدل، ساده‌تر به‌دست می‌آید. در واقع مدل‌های پارامتری ساده‌تر هستند و علاوه بر این دارای مقادیر تابع خطر و تابع بقای کاملاً مشخص می‌باشند و مزیت دیگر آن است که پارامترهای کمتری نسبت به مدل کاکس دارند.\\
\subsection{مدل پارامتری وایبل}
توزیع وایبل یکی از معروف‌ترین مدل‌های طول عمر است که به دلیل انعطاف‌پذیری آن، کاربردهای فراوانی در تحلیل داده‌های بقا دارد.\\
متغیر تصادفی $T$ دارای توزیع وایبل با پارامترهای $\alpha$ و $\lambda$ است که با علامت $W(\lambda,\alpha)$ نمایش می‌دهیم. و تابع توزیع آن به‌صورت
\begin{eqnarray*}
F(t, \lambda, \alpha)=1-e^{{-(\lambda t)}^{\alpha}},~~~~~~t>0, \lambda >0, \alpha>0 
\end{eqnarray*}
می‌باشد. در این‌جا $\lambda$ پارامتر مقیاس توزیع و $\alpha$ پارامتر شکل توزیع است. تابع چگالی توزیع برابربا
\begin{eqnarray*}
f(t, \lambda, \alpha)=\alpha\lambda^{\alpha}t^{\alpha-1}e^{{-(\lambda t)}^{\alpha}},~~~~t>0, \lambda>0, \alpha>0
\end{eqnarray*}
است. هم‌چنین توابع خطر و بقا برای این مدل به‌صورت
\begin{eqnarray*}
S(t)&=&e^{{-(\lambda t)}^{\alpha}},~~~~t>0\cr
h(t)&=&\alpha\lambda^{\alpha}t^{\alpha-1},~~~~t>0
\end{eqnarray*}
است. این واقعیت که تابع نرخ خطر توزیع وایبل، برخلاف بسیاری دیگر از توزیع‌ها، به فرم بسته ارائه می‌شود، یکی از خواص مهم توزیع وایبل است. واضح است که، به‌ازای $\alpha>1$ تابع نرخ خطر بر حسب زمان صعودی است، به‌ازای $\alpha=1$ تابع نرخ خطر برحسب زمان ثابت است و به‌ازای $\alpha<1$ تابع نرخ خطر برحسب زمان نزولی است.\\
با توجه به انعطاف‌پذیر بودن تابع نرخ خطر، توزیع وایبل را برای مدل‌سازی انواع داده‌ها می‌توان به‌کار برد. توزیع وایبل در تمام حالات که تابع خطر یکنوا یا ثابت است به‌کار می‌رود. از طرفی با تغییر پارامترهای این توزیع، چگالی وایبل می‌تواند برای زمان‌های چوله به راست و زمان‌های چوله به چپ قابل استفاده باشد. با توجه به خواص گفته شده دیده می‌شود که توزیع وایبل انعطاف‌پذیری زیادی دارد و به‌همین دلیل در تحلیل بقا به‌صورت متداول برای مدل بقا پارامتری استفاده می‌شود.\\
\subsection{مدل پارامتری نمایی}
توزیع نمایی یکی از مهم‌ترین توزیع‌های آماری است که در مدل‌سازی و تحلیل داده‌های طول عمر به‌کار می‌رود. از جمله دلایل مهم کاربرد فراوان توزیع نمایی در داده‌های طول عمر، فرم ساده‌ی محاسباتی این توزیع و خواص منحصر به‌فرد این مدل است. متغیر تصادفی طول عمر $T$ دارای توزیع نمایی با پارامتر مقیاس $\lambda$ است، و به‌طور خلاصه می‌نویسیم $T\sim E(\lambda)$، اگر تابع چگالی آن به‌صورت
\begin{eqnarray*}
f(t, \lambda)=\lambda e^{-\lambda t},~~~~~t>0,~~\lambda>0
\end{eqnarray*}
باشد، در این‌صورت، تابع بقای آن برابر است با
\begin{eqnarray*}
S(t, \lambda)&=&\int_t^\infty \lambda e^{-\lambda t}dx\cr
&=&e^{-\lambda t},~~~~~~t>0
\end{eqnarray*}
و در نتیجه تابع توزیع آن مساوی است با $F(t, \lambda)=1-\lambda e^{-\lambda t}~~~~t>0$.\\
تابع نرخ خطر توزیع نمایی، $h(t)$ برابر است با
\begin{eqnarray*}
h(t)&=&\dfrac{f(t)}{S(t)}\cr
&=&\dfrac{\lambda e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda t}}\cr
&=&\lambda ,
\end{eqnarray*}
ملاحظه می‌شود که $h(t)$ به $t$ بستگی ندارد یعنی تابع نرخ خطر متغیری که دارای توزیع نمایی باشد با گذشت زمان تغییر نکرده و همواره مساوی مقدار ثابت $\lambda$ است. در نتیجه مدل نمایی یک مدل خطر متناسب می‌باشد. این خصوصیت از جمله مشخصه‌های منحصر به‌فرد توزیع نمایی است به ‌عبارت دیگر، اگر تابع نرخ خطر یک متغیر تصادفی پیوسته $T$ همواره ثابت، مثلاً $\lambda$ باشد، آن‌گاه به‌راحتی اثبات می‌شود که توزیع متغیر باید نمایی باشد. دلیل درستی این مطلب از این واقعیت ناشی می‌شود که اگر $S(t)$ تابع بقا $T$ باشد، آن‌گاه داریم
\begin{eqnarray*}
S(t)&=&e^{\int_0^{t}h(x)dx}\cr
&=&e^{\int_0^{t}\lambda dx}\cr
&=&e^{-\lambda t}.
\end{eqnarray*}
در بین توزیع‌های طول عمر پیوسته، توزیع نمایی تنها مدل احتمالی است که نرخ خطر آن ثابت است. یکی دیگر از خواص منحصر به‌فرد توزیع نمایی، که در واقع بسیاری از ویژگی‌های دیگر این توزیع را سبب می‌شود خاصیت فقدان حافظه است.\\
در این پایان‌نامه برای تحلیل داده‌های بقا با همبستگی فضایی از یک نوع مدل کاکس با تابع خطر پایه نمایی تکه‌ای استفاده می‌گردد که در بخش بعد به معرفی این مدل پرداخته می‌شود.
\section{مدل کاکس با تابع خطر پایه نمایی تکه‌ای}
فرض کنید محور زمان به $K$ بازه زمانی $0<a_1<a_2<...<a_k<\infty$ افراز شده باشد که در آن $a_k$ از هر زمان بقا مشاهده شده در مطالعه بزرگ‌تر است. بنابراین $k$ بازه زمانی به‌صورت $I_k=(a_{k-1}, a_k], k=1, ...,K$ خواهیم داشت به‌طوری که $I_1=(0, t_1]$ و تابع خطر پایه در هر فاصله زمانی به‌صورت ثابت $h_0(t)=\lambda_k$ فرض می‌شود. هریک از بازه‌های تابع خطر پایه دارای توزیع نمایی با پارامتر $\lambda_k$ است. اکنون $(t_i, \delta_i)$ و $i=1, ..., m$، زمان بقای فرد $i$ام و $\delta_i$ نشان دهنده سانسورشدن باشد، آن‌گاه تابع خطر متناسب به‌صورت
\begin{equation}
\label{eq.1}
h_i(t)=h_0(t)\exp( \bm z'_i\bm\beta)
=\exp\{ \bm z'_i\bm\beta +b_k\}=\exp(\eta_{ik}),~~ t\in(a_{k-1}, a_k),
\end{equation}
می‌باشد، که در آن $b_k=\log(\lambda_k)$. در مدل (\ref{eq.1})  فرض می‌شود که اثرمتغیرهای کمکی روی لگاریتم تابع خطر، تابعی خطی از متغیرهای کمکی است.\\
گاهی در عمل برخی از متغیرهای کمکی پیوسته می‌توانند به‌صورت شکل‌های غیر خطی بر روی میزان خطر اثر بگذارند. در مدل کاکس با تابع خطر نمایی تکه‌ای به‌صورت \ref{eq.1} می‌توان مستقیماً شکل غیرخطی متغیرها را وارد کرد. در این حالت در شکل پیشگو علاوه بر $b_k$ و $\bm z'_i\bm\beta$ جمله $f_r(\cdot)$ اضافه می‌شود و به‌صورت 
\begin{equation}
\label{eq2.}
\eta_{ik}=\beta_0+\sum_{r=1}^{n_r} w_{ir} f_r (u_{ir})+\sum_{j=1}^{n_B}\beta_j \bm z_{ji}+b_k,
\end{equation}
بیان می‌شود، که در آن $n_r$ تعدادمتغیرهای کمکی با اثرات غیرخطی، $n_B$ تعداد متغیرهای کمکی با اثرات خطی،   $\beta_j$ ها ضرایب رگرسیونی و نشان دهنده اثر خطی متغیرهای کمکی و $\ f_r(\cdot)$ توابع ناشناخته‌ای هستند که برای در نظر گرفتن همبستگی‌های فضایی، همبستگی‌های خوشه بندی یا همبستگی‌های زمانی و اثرات غیر خطی متغیرهای کمکی می‌باشند. بنابراین اثرات تصادفی فضایی، اثرات تصادفی خوشه‌بندی و... از طریق تابع $\ f_r(\cdot)$ در مدل قابل بیان هستند و $w_{ir}$ وزن‌های معلوم می‌باشند.\\
\section{تحلیل بیزی فضایی مدل کاکس با تابع خطر پایه نمایی تکه‌ای}
در این‌جا برای تأکید بر وجود همبستگی فضایی بین مشاهدات، پیشگویی جمعی فضایی به‌صورت
\begin{equation}\label{er}
\eta_{ik}=\beta_0+\Sigma_{r=1}^{n_r}f_r(u_{ir})+f_{spat}(s_i)+\Sigma_{j=1}^{n_\beta}\beta_j  \bm z_{ji}+b_k
\end{equation}
در نظر گرفته می‌شود، که در آن $f_{spat}(s_i)$ اثرفضایی در موقعیت $s$ برای فرد $i$ام $(i=1,\cdots,m)$ و $f_r(u_{ir})$ اثر غیرخطی متغیر کمکی پیوسته $u_r$، $\bm z_{ji}$ متغیر کمکی $j$ام برای فرد $i$ام خطی باشد  و $\beta_0$ عرض از مبدأ،  $\beta_j$ ها ضرایب رگرسیونی و $b_k=\log(\lambda_k)$ می‌باشند.\\
برای تحلیل بیزی مدل (\ref{er})، فرض کنید
\begin{eqnarray*}
\bm\beta^{\prime}=(\beta_0,\beta_1,\cdots,\beta_{n_{\beta}})~~~,~~~\bm f=(\bm f_i~;i=1,\cdots,m)^{\prime},
\end{eqnarray*}
که در آن
\begin{eqnarray*}
\bm f_i&=&( f_r,f_{spat}(s_i), r=1,\cdots,n_r)^{\prime},\cr
\bm f_r&=&(f_r(u_{ir}), r=1,\cdots,n_r)^{\prime}~~,~~\bm f^{\prime}_{spat}=(f_{spat}(s_1),\cdots,f_{spat}(s_m)),\cr
\bm\lambda^{\prime}&=&(\lambda_1,\cdots,\lambda_k)
\end{eqnarray*}
دارای توزیع پیشین نرمال باشند. همچنین اگر
 $y_i=(t_i,\delta_i)$ مشاهدات و زمان شکست فرد $i$ام در فاصله $I_k$ به‌صورت
\begin{equation}
\Delta_{ik}=min\lbrace{y_i,a_k}\rbrace-a_{k-1}~~~~~k=1,...,K~~~~~~~~i=1,...,m
\end{equation}
تعریف شود و با در نظر گرفتن اندیس $g_i$ به‌صورت 
\begin{equation*}
y_i\in(a_{g_i},a_{g_{i+1}})=I_{g_{i+1}}
\end{equation*}
آن‌گاه مجموعه مشاهدات را با $D$ و به‌صورت 
\begin{equation*}
D=\lbrace\Delta_{ik},g_i, Z_i,i=1,...,m,k=1,...,K\rbrace
\end{equation*}
نشان می‌هیم، که در این‌صورت طبق پن\LTRfootnote{Pan} و کوزاکی\LTRfootnote{Kozakai}
\cite{PAN}
، تابع درستنمایی به‌صورت
\begin{eqnarray*}
L(\bm\beta,\bm\lambda, \bm f\mid D)\varpropto &&\Pi_{i=1}^m\Pi_{k=1}^Kw_i\lambda_k\Delta_{ik}e^{- z'_{i}\beta}\Pi_{i=1}^m( w_i\lambda_{g_{i+1}}
e^{-z'_i\beta})^{\delta_i}\cr &&\exp\lbrace - w_i\lambda_{g_{i+1}}\Delta_{ik}e^{-z'_i\beta}\rbrace ,
\end{eqnarray*}
است، که در آن $w_i=\exp(f_i)$ می‌باشد. با فرض استقلال توزیع‌های پیشین، توزیع پسین به‌شکل 
\begin{equation*}
\pi(\bm\lambda,\bm\beta, \bm f\mid D)\varpropto L(\bm\beta,\bm\lambda,\bm f\mid D)\pi(\lambda)\pi(\bm\beta)\pi(\bm f),
\end{equation*}
می‌باشد. توزیع پسین شکل بسته‌ای ندارد و باید از الگوریتم نمونه‌گیری گیبز استفاده شود. برای این منظور توزیع‌های شرطی کامل به‌صورت زیر تشکیل شوند:
\begin{equation*}
\pi(\beta_p\mid D, \bm f,\bm\lambda,\bm\beta_{-p})\varpropto L(\bm\beta,\bm\lambda,\bm f\mid D)\pi(\beta_p),
\end{equation*}
\begin{equation*}
\pi(\lambda_j\mid\bm\lambda_{-j},D, \bm f,\bm\beta)\varpropto L(\bm\beta,\bm\lambda,\bm f\mid D)\pi(\lambda_j),
\end{equation*}
\begin{equation*}
\pi(f_k\mid\bm f_{-k},\bm\lambda,\bm\beta,D)\varpropto L(\bm\beta,\bm\lambda, \bm f\mid D)\pi( f_k)
\end{equation*} 
که در آن
 $$\bm\beta_{-p}=\lbrace\beta_0,...,\beta_{\theta-1},\beta_{\theta+1},...\beta_{n_{\beta}}\rbrace,$$ 
 $$\bm\lambda_{-j}=\lbrace\lambda_1,...,\lambda_{j-1},\lambda_{j+1},...,\lambda_k\rbrace$$ 
 و
  $\bm f_{-k}$ برداری شامل تمام توابع غیرخطی به غیر از $k$امین تابع است.\\ 
به‌دلیل عدم وجود شکل بسته‌ برای توزیع‌های شرطی کامل از الگوریتم مترویولیس هستینگس نیز استفاده می‌شود.\\
به‌دلیل پیچیده بودن مدل، الگوریتم $MCMC$ بسیار زمان‌بر می‌باشد. رو و مارتینو
\cite{RUE}
برای رفع مشکل زمان‌بر بودن این الگوریتم در مدل‌های پیچیده فضایی مثل مدل فضایی به‌کار گرفته شده در این پایان‌نامه رهیافت بیزی تقریبی را معرفی نمودند در فصل بعد نحوه‌ی استفاده از رهیافت بیزی تقریبی برای مدل کاکس با تابع خطر نمایی تکه‌ای بیان می‌شود و سپس بر روی یک مجموعه داده‌ی واقعی پیاده‌سازی می‌گردد.